第１７４問の解答

１．問題　［規則性］

ゆたか君の学校では、町の美化運動が盛んです。あるとき、近所の小売店でジュースの空き缶を５本持っていけば１本の新しい缶ジュースと交換してくれることを知り、全校生徒３３３人が近くの公園で各自１個ずつ空き缶を拾ってきました。

とりあえず拾った空き缶で缶ジュースをもらい、新たにできた空き缶も集めて缶ジュースに交換してもらいます。それでも足りない分はお金を出して買い足し、できるだけ少ない予算で全員が１本ずつ缶ジュースを飲むことができるようにしたいと思います。

少なくとも何本、お金を出して買う必要があるでしょうか？

２．解答例１(ちーくん、トトロ＠Ｎさん、Taroさん、高橋道広さん、noetherさん、小杉原啓さん、中村明海さん、DrKさん、有無相生さん、まるケンさん、CRYING DOLPHINさん、他多数)

空き缶３３３本を買ったことにして、１人２本ずつ、３３３×２＝６６６本飲むことを考えます。

　図1

最初１本だけあったとします。
4本買えば、空き缶が合計５本できるので、これを缶ジュース１本と交換でき、これを飲んで空き缶１本が残ります。

さらに、4本買えば、空き缶が合計５本できるので、これを缶ジュース１本と交換でき、これを飲んで空き缶１本が残ります。

以下、同様。

従って、（６６６−１）／５×４＋１＝５３３本買えばいいことになります。
このうち、３３３本は拾ったものだから、これを除く５３３−３３３＝２００本を購入すればいいことになります。

なお、購入する本数n←→飲める本数mとすると、
　m=[(n-1)/4]×5+MOD(n-1,4)+1
　n=[(m-1)/5]×4+MOD(m-1,5)+1
と表すことができます。
　（ただし、［］は整数に切り捨て、MOD(p,q)はpをqで割った余り）

答：２００本

以上

（その他の解法）

地道に計算・・・大岡敏幸さん、他多数