２．解答例１(長野美光さん、小杉原啓さん、Gouさん、トトロ＠Ｎさん、ミミズクはくず耳さん、圭太さん、LIONさん、高橋道広さん、ふじさきたつみさん、sodoさん、BossFさん、有無相生さん、杉本未来さん、中村明海さん、DrKさん、たなかさん、他多数)
正方形の各辺にある赤い棒、青い棒の本数の合計が最も少なくなるときを下図のようにします。（ただし、m1<m2<m3<m4）
このとき、各辺の長さが等しいことから、n1>n2>n3>n4となります。
もしm1>0とすると、各辺から赤い棒をそれぞれm1本ずつ取り除いても、各辺の長さは等しいので正方形となり、元の正方形より棒の合計本数が少なくなるので矛盾します。よって、m1＝0本でなければなりません。
全く同様にして、n1＝0本となります。
ここで、赤い棒、赤い棒それぞれ１本の長さをa、bとします。
題意より、a>bとなります。上記より、n1×b＝m4×a、
よって、求める比をkとおくと、
k＝a/b＝n1/m4、
従ってkは有理数となります。kを既約分数にしたものをp/qとおきます。
上図より、
m2×a＝(n1-n2)×b ・・・ （１）
m3×a＝（n1-n3）×b ・・・ （２）
m4×a＝n1×b ・・・ （３）
が成り立ちます。（１）より、n1-n2＝m2×a/b＝m2×p/q。
n1-n2は整数だから、m2はqの倍数。
同様に、m3、m4もqの倍数。
よって、m2＝s2×q、m3＝s3×q、m4＝s4×qとおくことができます。
m2<m3<m4より、s2<s3<s4 ・・・ （７）また、
n3×b＝(m4-m3)×a ・・・ （８）
n2×b＝（m4-m2）×a ・・・ （９）
n1×b＝m4×a ・・・ （１０）
が成り立ちます。（６）から、n1＝m4×a/b＝m4×p/q＝(s4×q)×p/q＝s4×p。
同様に、n2＝(s4-s2)×p、n3＝(s4-s3)×p。
（７）より、
1≦s2、2≦s3、3≦s4、1≦s4-s3、2≦s4-s2
従って、棒の本数合計が最小ととなるのは、上の右図のときとなる。
このとき、棒の本数合計＝3q＋（2q+p）＋（q+2p）＋3p＝6(p+q)＝90本。
よって、p+q＝15本となります。1<k＝p/q<2となる、pとqの組み合わせを求めると、
p/q＝８/7、9/6
の２組しかない。
このうち、9/6は既約分数ではないので不適。よって、p/q＝8/7のみが題意を満たします。
答：８：７
以上
