第１８７問の解答

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１．問題　［平面図形]

平行四辺形ABCDで、 AＧ：ＧＢ=２：１、BF：FC=３：1、 CH：DH=２：１、DE：EA=３：１ となっています。 辺EF上に点Pをとったとき、 四角形AGPE＝４．３２ｃｍ2、四角形GBFP＝７．２ｃｍ2となりました。 では、四角形PFCHの面積は何ｃｍ2でしょうか。

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２．解答例１(ヒデー王子さん、トトロ＠Ｎさん、高橋道広さん、ふじさきたつみさん、数楽者さん、テンジンさん、らぴすさん、銀次郎さん、他 多数)

四角形EGFHをつくると、題意より平行四辺形となります。

　平行四辺形ABCD
＝（四角形AGPE＋四角形GBFP）×２
＝（４．３２＋７．２）×２
＝２３．０４ｃｍ²

　△AGE＝△HFC
＝平行四辺形ABCD×2/12×1/2
＝１．９２ｃｍ²

△GBF＝△EHD
＝平行四辺形ABCD×3/12×1/2
＝２．８８ｃｍ²

よって、
△EGP＝四角形AGPE−△AGE＝４．３２−１．９２＝２．４ｃｍ²
△PGF＝四角形GBFP−△GBF＝７．２−２．８８＝４．３２ｃｍ²

四角形EGFHは平行四辺形だから、△EGFと△EFHの高さは等しい。
よって、△PFH＝△PGF＝４．３２ｃｍ²

従って、四角形PFCH＝△PFH＋△HFC＝４．３２＋１．９２＝６．２４ｃｍ²
となります。

　

答：６．２４ｃｍ²

以上

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３．解答例２(中村明海さん、他)

EFとBAの延長線の交点をS、およびEFとCDの延長線との交点をTとします。

△SAEと△SBFは相似で、相似比は１：３、よって面積比は１：９。
従って、△SAE＝四辺形ABFE×1/8＝（４．３２＋７．２）×1/8＝１．４４ｃｍ²。
△SBF＝△SAE×９＝１２．９６ｃｍ²。

また、△SGF：△GBF＝SG：GB＝７：２、
よって、
　△SGF＝△SBF×７／９＝１０．０８ｃｍ²、
　△GBF＝△SBF×２／９＝　２．８８ｃｍ²。
　△PGF＝四辺形PGBF−△GBF＝７．２−２．８８＝４．３２ｃｍ²。
SP：PF＝△SGP：△PGF＝（１．４４＋４．３２）：４．３２＝４：３。

ここで、SE＝FTの長さを７とおくと、EF＝SE×２＝１４、SF＝２１、
よって、
　PF＝SF×３／７＝２１×３／７＝９、
　EP＝EF−PF＝１４−９＝５。

対称性より、
　△ETH＝△SGF＝１０．０８ｃｍ²、
　△PTH＝△SGF×PT／ET＝１０．０８×１６／２１＝７．６８ｃｍ²
よって、
　四辺形PFCH＝△PTH−△FTC＝７．６８−１．４４＝６．２４ｃｍ²。

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（その他の解法）

・方程式を用いて解く　・・・　小杉原　啓さん、tub@saさん、他

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