第１８８問の解答
１．問題 ［規則性]
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２．解答例１(ちーくん、AUさん、高橋道広さん、ふじさきたつみさん、まおさん、 他多数)
まず、第n行は、公差2n-1の等差数列になっています。 ・・・ （１）
・第１行は、公差１の等差数列です。
・そして、ある行が公差kの等差数列なら、
上図より、e=a+b、f=b+c、よりf-e=(b-a)+(c-b)=2k となるから、
その次の行は公差2kの等差数列になります。
・よって、帰納法により、（１）が成り立つことが分かります。次に、第３行以下の各数字は、ちょうど真上の数字の４倍になっています。 ・・・ （２）
実際、上図から、
e=a+b、f=b+c、
h=e+f=(a+b)+(b+c)=(a+c)+2b=2b+2b=4b （等差数列だから、2b=a+c）
となります。第２行目までの数字は３７５以下なので、２００１の倍数ではありません。
２００１は奇数なので、第n行目（n≧2）までに２００１の倍数がないとしたら、
第n+1行目は、第n-1行目の数字の４倍なので、２００１の倍数はありません。よって、帰納法により、各行とも２００１の倍数がないことが分かります。
答：０個
以上
３．解答例２(ミミズクはくず耳さん、小杉原 啓さん、noetherさん、sodoさん、 DrKさん、有無相生さん、川田智之さん、他多数)
第n行k番目の数字F(n、k)=(n+2k-1)2n-2と表すことができます。・・・ （３）
・第１行：F(1,k)=(1+2k-1)2-1=k となり、（３）は成り立ちます。
・第２行：F(2,k)=(2+2k-1)20=2k+1 となり、（３）は成り立ちます。第n行(n≧2)まで（３）が成り立つとします。
（２）より、
F(n+1、k)
＝F(n-1,k+1)・4
＝((n-1)+2(k+1)-1)2(n-1)-2・4
＝((n+1)+2k-1)2(n+1)-2
となり、第n+1行も（３）が成り立つことが分かります。よって、帰納法により、各行について（３）が成り立つことが分かります。
すると、第n行の数字は、(189-n)個なので、
n+2k-1≦n+2(189-n)=378-n≦377
となり、この中に２００１の倍数はありません。
また、２００１は奇数なので、2n-2も２００１の倍数ではありません。よって、第１８８行までには、２００１の倍数は１個もないことが分かります。
［（３）の別解］
第n行k番目の数字をF(n、k)、および第n行1番目の数字をとくに、G(n)とおきます。
解答例１の（１）より、
F(n、k)＝G(n)＋(k-1)2n-1 ・・・ （４）
が成り立ちます。また、
G(n+1)＝G(n)＋F(n、2)＝2G(n)＋2n-1 ・・・ （５）
G(n+2)＝2G(n+1)＋2n ・・・ （６）
（６）×２−（５）より、
G(n+2)-2G(n+1)＝2G(n+1)-4G(n)
G(n+2)-4G(n+1)+4G(n)=0
従って、G(n)は２階の線形漸化式を満たします。x2-4x+4=0が(x-2)2=0よりx=2を重根として持つことから、
一般式は、 G(n)=(an+b)2n-1と表すことができます。G(1)=a+b=1、G(2)=4a+2b=3より、a=b=1/2を得ます。
従って、G(n)=(n+1)2n-2 となります。（４）より、
F(n、k)＝(n+1)2n-2＋(k-1)2n-1
＝｛(n+1)＋2(k-1)｝2n-2
＝(n＋2k-1)2n-2
となります。