第40問の解答
1.問題 [平面図形]
左図のように一辺が18cmの正方形と、その各辺の3等分点を結んで作られた2つの正方形があります。
この図の中心にある八角形の面積を求めて下さい。
2.解答例1(長野義光さん他)
左図で、△EPQと△EAFは相似だから、
PQ:AF=EP:EA。
よって、PQ=AF×EP/EA=6×3/12=1.5cm。従って、QO=PO−PQ=9−1.5=7.5cm。
また、△OQRと△AFRは相似で、相似比はOQ:AF=7.5:6=5:4。
よって、RからOQへ下ろした垂線の長さは=AP×OQ/(OQ+AF)=9×5/9=5cm。
従って、△OQR=1/2×7.5×5=75/4cm2。
求める八角形の面積=△OQR×8=150cm2。
3.解答例2(ありさのお父さん他)
左図で、対象性より四角形STUVは正方形で、しかも辺SVは辺ADに平行、辺STは辺ABに平行となる。
よって、△ESVと△AEFは相似な直角三角形となり、正方形STUVと正方形EFGHの関係は、正方形ABCDと正方形EFGHの関係と全く同じになる。さて、正方形ABCDの面積=18×18=324cm2。
正方形EFGHの面積=正方形ABCDの面積×−△EAF×4=324−1/2×6×12×4=180cm2。従って、正方形STUVの面積=正方形EFGHの面積×正方形EFGHの面積/正方形ABCDの面積=180×180/324=100cm2。
よって、正方形STUVの一辺の長さSV=10cmとなる。
従って、QH=SH×AF/EA=10/2×6/12=2.5cm
よって、△QSV=1/2×SV×QH=1/2×10×2.5=12.5cm2。求める八角形の面積=正方形STUVの面積+△QSV×4=100+12.5×4=150cm2。