第４４問の解答

１．問題　［整数の性質？］

　和が２０になる整数のグループを作ります。例えば、[1,19]や[2,3,4,5,6]などで、個数に制限はありません。

　さてここで、グループの整数の最小公倍数をできるだけ大きくしたいと思います。最大でいくらの大きさにできるでしょうか？


２．解答例（わかさひ君、kuri他）

（補題）

正数Ｘ１、Ｘ２、・・、Ｘｎは、和がＺで一定の時、Ｙ＝Ｘ１×Ｘ２×・・×Ｘｎは、Ｘ１＝Ｘ２＝・・＝Ｘｎ＝Ｚ／ｎのとき最大となる。

　相加相乗平均の関係より、（Ｘ１＋Ｘ２＋・・＋Ｘｎ）／ｎ≧（Ｘ１×Ｘ２×・・×Ｘｎ）1/n
よって、Ｘ１×Ｘ２×・・×Ｘｎ≦（Ｚ／ｎ）ｎ（等号は、Ｘ１＝・・が全て等しいとき）

（参考）n=1,2,・・のときの（２０／ｎ）ｎのグラフ
最大値のグラフ

（今回の問題）

　今回の問題では、Ｘ１、Ｘ２、・・、Ｘｎが整数であること、および最小公倍数の最大値を求めることの２つの条件が、補題に加わる。

　従って、Ｘ１、Ｘ２、・・、Ｘｎは、互いに素で、かつなるべく２０／ｎに近い整数を選ぶことが必要となる。

　ｎ＝４のときを考える。平均値２０／４＝５に近い整数４個を選んでみると、[3,4,5,6]（積：360）、または[4,5,6,7]（積：840）が考えられる。

　しかし、これらは合計がそれぞれ１８，２２なので、後者のほうの４と６が互いに素ではないことに注目して、[3,4,5,7]（積：420、和：19）を考えてみる。
　和が１９なので、１を加えて、[1,3,4,5,7]（積：420）を一つの候補としてみる。

また、ｎ≦３のときは、上記グラフより、４２０より大きくはならないことが分かる。

　ｎ＝５のときを考える。平均値２０／５＝４に近い整数５個を選んでみると、[2,3,4,5,6]（積：720）となるが、これらには互いに素でないものが多く含まれている。
そこで、２を１に、６を７に変えてみると、これはｎ＝４のときに考えた[1,3,4,5,7]（積：420）に他ならない。

さらに、ｎ≧６のときには、平均値がどんどん小さくなって、互いに素なる整数を選ぶことが出来なくなるので、今求めたものが最大となることが分かる。

答：４２０

以上