第４６問の解答

１．問題　［場合の数］

　５２枚のカードがあります。このうち、適当な枚数のカードを使って２人でゲームをします。
　互いにカードを取っていき、最後にカードを取る番になったほうが負けです。
　ただし、１度に取ることができるカード枚数は、１，３，４枚のいずれかです。

　さて、このゲームでは、最初のカード枚数によって、先手必勝か後手必勝かが決まってしまいます。５２枚以内で、先手必勝になるカード枚数は、いくとおりあるでしょうか。

２．解答例（長野　美光さん、kuri他）

　まずカード枚数が、１～７枚の場合を考えます。

　従って、最初のカード枚数が２，４，５，６，７枚のとき先手必勝、１，３枚のとき後手必勝となります。

　同様に、カード枚数が８以上になったときも、７で割った余りが２，４，５，６，７のとき先手必勝、１，３のとき後手必勝となることが次のようにして分かります。

　以下、７で割った余りで割り切れるときを考えます。ただし、７で割り切れるときは余り７としました。

（先手番）枚数（７で割った余り）が２，４，５，６，７とします。

　従って、必ず１，３にして後手番にできます。

（後手番）枚数（７で割った余り）が１，３とします。

　従って、どうやっても、先手番に回ったとき、２，４，５，６，７のいずれかになります。

　以下、同様にして最後には、枚数が７以下になりますので、結局最初のカード枚数を７で割った余りが２，４，５，６，７のとき先手必勝、１，３のとき後手必勝となります。

　さて、５２＝７×７＋３なので、この中に７で割った余りが２，４，５，６，７となるのは、５×７＋１＝３６とおりです。

答：３６とおり

以上