第５１問の解答
１．問題 ［整数の性質］
５人の人が３桁のある整数について話し合っています。
ところが、５人とも発言の一方は正しく、もう一方は誤りのようです。では、この３桁の整数とは？ |
２．解答例1（伏見主事さん、わかさひ君他）
それぞれの人の言ってることを条件１、条件２とすると、Ａさんは「条件１が正しくて条件２が誤り」のケースと、逆に「条件１が誤りで条件２が正しい」の２ケースが考えられます。同様に、Ｂさん、Ｃさん、Ｄさん、Ｅさんについてもそれぞれ２ケース考えられるので、全部で２5＝３２ケースあることになります。
なお、それぞれの条件は、求める整数に１を加えた整数について考えると、２の倍数、３の倍数、・・・、１１の倍数となります。
このうち、あり得ないケースを消去していけば良いわけですが、まずＣさんの条件１「６の倍数」に着目してみましょう。
もし、条件１が正しいと仮定すると、６の倍数ですから、２および３の倍数にもなります。すると、Ａさんの条件１と条件２の両方が正しいことになりますので、６の倍数ではあり得ません。よって、Ｃさんについては、条件２が正しく、「６の倍数ではなく、７の倍数」ということになります。
さて、今度はＤさんに着目してみましょう。
（ケースａ）条件１「８の倍数」が正しいと仮定
８の倍数ということは、２の倍数であり、４の倍数でもある。従って、Ａさん、Ｂさんは「条件１が正しく、条件２が誤り」と分かる。
従って、Ｂさんの条件２が誤りだから５の倍数ではないので、１０の倍数でもない。よって、Ｅさんは、「条件１が誤り、条件２が正しい」ことになる。
（ケースｂ）条件２「９の倍数」が正しいと仮定
８の倍数でないということは、２の倍数でもなく、４の倍数でもない。従って、Ａさん、Ｂさんは「条件１が誤り、条件２が正しい」と分かる。
従って、Ａさんの条件１が誤りだから２の倍数ではないので、１０の倍数でもない。よって、Ｅさんは、やはり「条件１が誤り、条件２が正しい」ことになる。
さて、ケースａの場合、求める整数に１を加えた整数は、２，４，７，８，１１の最小公倍数＝７×８×１１＝６１６の倍数。このうち、３桁の整数は６１６しかないので、求める整数＝６１６−１＝６１５となる。
次に、ケースｂの場合、求める整数に１を加えた整数は、３，５，７，９，１１の最小公倍数＝５×７×９×１１＝３４６５の倍数。このうち、３桁の整数はない。
よって、答はケースａの６１５のみである。
以上
