第52問の解答


1.問題 [規則性

問題図
左図のような正三角形のコースが2つあります。この2つのコースは、10m分だけ重なっています。

ゆたか君Aコース毎分19mで、TORAさんはBコース毎分98mの速さで、それぞれ矢印の方向に回り始めました。

何周かしているうちに、コースの緑色の部分2人出会いました。そのあと数分して2人はまた出会いました。

このように2人出会うことのできる場所は、緑色の部分最大何カ所あると考えられるでしょうか?


2.解答例1(武田 浩紀さん他

 上記問題図をよく見てみると、次のように変形できます。

図1
参考図1
図2
参考図2
図3
参考図3

従って、図3の通り周囲30mの円周を、それぞれ向きの異なる方向に回る問題と同等となります。

図4
参考図1

 ゆたか君TORAさんの進む速度の比は19:98ですから、最初に出会った地点、次に出会った点をとすると、からまでの距離は、円周の19/(19+98)=19/117となります。

 同様にして、3度目に出会う地点は、から19/117×2=38/117の場所、は19/117×3=57/117・・・、117は19/117×117=19となり、ちょうどと同じ地点になります。

図5
参考図5

 さて、図5のようにこの間出会う地点は結局からスタートして、円周を117等分する各点となることが、計算によって分かります。(参考:剰余形による説明)

 さて、緑色の部分は円周の1/9なので、117/9=13から、がちょうど緑色の部分を13等分する点となるときに13+1=14地点で出会うことになり、それ以外の時は13地点なので、結局最大14地点で出会うことになります。

以上

(参考)剰余形による説明

=aを開始点とし、円周を117等分する地点を、p、・・・、p116とします。

(0≦n≦116)に対し、からの距離は、円周の19/117×n倍なので、19×nを117で割った余りをとすると、=pとなります。

さて、もし=a(0≦n<m≦116)となるものがあったとすると、19×neq.gif (253 バイト)19×m(mod 117)となります。ところが、19117互いに素(1以外の公約数を持たない)ので、eq.gif (253 バイト)m(mod 117)となりますが、これは0<m−n<117に反します。

よって、(0≦n≦116)は全て異なることになるので、{a|(0≦n≦116)}={p|(0≦n≦116)}(集合として一致)になります。