第５３問の解答

１．問題　［割合？］

問題図

　５％の食塩水Ａが７００ｇ、１０％の食塩水Ｂが３００ｇあります。

まず、それぞれの食塩水から１０ｇずつをはかりとり、ＡからはＢへ、ＢからはＡへと、同時に入れ替えます。

次は、２０ｇずつ取り出して入れ替えます。３回目は３０ｇずつ、４回目は４０ｇずつ・・・というように、入れ替える食塩水の量を１０ｇずつ増やしていくと、何回目の作業で２つの食塩水の濃さが等しくなるでしょうか？

２．解答例1（たなかさん、中村明海さん他）

　実は、最後に移し替える食塩水の量は、最初の食塩水Ａ、Ｂの濃度とは無関係に決まります。

参考図１

　ｎ回目の作業を考えます。移し替える食塩水の量をＸn（１００ｇを単位とします。）とし、作業の前に、Ａの食塩水の濃度をＰn-1%、Ｂの食塩水の濃度をＱn-1%、作業後の濃度をＰn%、Ｑn%とします。

　上図の裏塗りをしている部分の面積は等しいので、h1×(7-Ｘn)=h2×Ｘnおよびh1×Ｘn=h2×(3-Ｘn)となります。これから、(7-Ｘn)：Ｘn＝Ｘn：(3-Ｘn)＝h2：h1が成り立ちます。従って、(7-Ｘn)×(3-Ｘn)＝Ｘn×Ｘnとなり、これを解いてＸn＝２．１を得ます。よって、作業１回ごとに食塩水を０．１（×１００ｇ）だけ増やすのだから、作業回数ｎ＝２１となります。

答：２１回

以上

３．解答例２（kuri他）

Ｐn、Ｑnを一般的に求めましょう。

さきほどの図より、
　　Ｐn＝(1-Ｘn/７)×Ｐn-1＋Ｘn/３×Ｑn-1　・・・　（１）
　　Ｑn＝Ｘn/３×Ｐn-1＋(1-Ｘn/３)×Ｑn-1　・・・　（２）
となります。

（１）×７＋（２）×３　および　（１）−（２）より、
　　７×Ｐn＋３×Ｑn＝７×Ｐn-1＋３×Ｑn-1　　　　・・・　（３）
　　Ｐn−Ｑn＝(1-10/21×Ｘn)×（Ｐn-1−Ｑn-1）　・・・　（４）
を得ます。

また、（３）より、
　　７×Ｐn＋３×Ｑn＝７×Ｐn-1＋３×Ｑn-1＝７×Ｐn-2＋３×Ｑn-2
　　　　　＝・・・＝７×Ｐ0＋３×Ｑ0＝７×５＋３×１０＝６５　・・・　（５）
となります。

また、Ｘn＝ｎ/10より、（４）は次のようになります。
　　Ｐn−Ｑn＝(21-n)/21×（Ｐn-1−Ｑn-1）　　　・・・　（６）
　　　　　　　＝(21-n)/21×(20-n)/21×（Ｐn-2−Ｑn-2）
　　　　　　・・・
　　　　　　＝(21-n)/21×(20-n)/21×・・・×20/21×（Ｐ0−Ｑ0）
　　　　　　＝20!/(20-n)!/21n×（Ｐ0−Ｑ0）
これは、Ｐ0−Ｑ0＝５−１０＝−５より
　　　Ｐn−Ｑn＝−５×20!/(20-n)!/21n　・・・　（７）
となる。ただし、（６）より、ｎ＝２１のとき、Ｐn＝Ｑnとなるので、（７）は、ｎ≦２０のときまでである。

（５）、（７）より、
　　Ｐn＝（６５−１５×20!/(20-n)!/21n）／１０、
　　Ｑn＝（６５＋３５×20!/(20-n)!/21n）／１０
となります。（ｎ≦２０のとき）

参考図２

（参考）　Ｐn、Ｑn、および入れ替える食塩水の量を６０ｇで固定したときのグラフ

参考図３

以上