第５４問の解答
１．問題 ［場合の数］
| １、３、９、２７、８１・・・のように１とそれに３を何回か掛けてできる数字を書いたカードが１枚ずつあります。 このカードの中から好きな枚数だけとりだしたとき、その合計として作ることのできない３桁の整数は全部で何個あるでしょうか？ |
２．解答例1（たなかさん他）
３桁の数字で、カードの組み合わせでできるものを、まず求めることにしましょう。
３のべき乗とその累計を計算します。
上表から、２７までの累計は１００未満であり、７２９までのの累計は１０００以上になりますので、一番大きな数字は８１、２４３、７２９のいずれかです。
- 一番大きな数字が８１のとき：
８１に１＋３＋９＝１３を加えても９４＜１００なので、２７は必ず含まれる必要がある。
逆に２７が含まれていると、８１＋２７＝１０８＞１００だから必ず３桁の数字になる。組み合わせは、１、３、９の数字がそれぞれ含まれないか含まれるの２通り×２通り×２通り＝８通り。
- 一番大きな数字が２４３のとき：
最小２４３、最大３６４なので全ての組み合わせがＯＫ。
すなわち、１、３、９、２７、８１の数字がそれぞれ含まれないか含まれるの２通り５＝３２通り。
- 一番大きな数字が７２９のとき：
２４３を含まない場合は、（１＋３＋９＋２７＋８１）＋７２９＝１２１＋７２９＝８５０＜１０００なので、１、３、９、２７、８１の組み合わせ３２通り。
２４３を含むと、７２９＋２４３＝９７２なので、残り加える事が出来るのは９９９−９７２＝２７まで。つまり、１、３、９の組み合わせ８通りと、２７の１枚の計９通り。合計３２＋９＝４１通り。
以上から、３桁の数字で、カードの組み合わせでできるものは、８＋３２＋４１＝８１通りとなります。
さて、３桁の数字は、１００以上９９９以下の９９９−１００＋１＝９００個ありますので、作り得ない数字は９００−８１＝８１９個となります。
答：８１９回
以上
３．解答例２（長野 美光さん、武田 浩紀さん、ありさのお父さん他）
３進数で考えると、カードの組み合わせでできる数字は、各桁の数字が０、１だけでできているものとなります。解答例１同様、これらのうち１０進数の１００以上９９９以下のものの個数を求めます。
１０進数で１００、９９９は３進数で１０２０１および１１０１０００になります。従って、１０進数の１００以上９９９以下のものは、３進数で最小１１０００、最大１１０１０００になります。
ところで、３進数で各桁の数字が０、１だけでできているものの個数は、その各桁の数字でつくる２進数の個数と一致します。
２進数で１１０００、１１０１０００は１０進数では、２４、１０４になりますので、この間の個数は、１０４−２４＋１＝８１個となります。
よって、３桁の数字でカードの組み合わせで作れないものは、９００−８１＝８１９個となります。
以上