第５５問の解答

１．問題　［平均］

　全校生徒１０８９人の学校で委員を３人選ぶ選挙をしました。
立候補したのは、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ君とＦさんの６人です。

　開票の途中経過では、Ａ：２２５，Ｂ：１９６，Ｃ：１６９，Ｄ：１４４，Ｅ君：１２１およびＦさん：１００票でした。

Ｆさんは、最低あと何票獲得すれば必ず当選するといえるでしょうか？

２．解答例1（ありさのお父さん、Nagahiro,Y.さん、kuri他）

（補題）得点が平均値より大きい人は最下位にはならない。
　　　　逆に、平均値より得点小の場合は、最下位となる可能性がある。

参考図１

　参考図２

　まず、Ａさんは必ず３位以内が確実であることを示す。

Ａさんの残り得票が０で、つづく上位３人が集中して残りの票を獲得したとして、４人の合計得票は（２２５＋１９６＋１６９＋１４４）＋１３４＝８６８票、平均は２１７票でＡさんの得票数２２５は既にこれより多い。よって、この４人のうち最下位になることはない。　

参考図３ 参考図４

　次に、Ａさんを除く上位２名のＢさん、ＣさんとＦさんの３人が残りの票を集中して獲得したとする。
３人の合計得票は（１９６＋１６９＋１００）＋１３４＝５９９票、平均は１９９．７票となる。

　よって、Ｆさんが、２００票以上の場合、この３人のうち最下位にはならないので、通算３位以内に必ずなる。逆に、１９９票以下の場合は、Ｂ、Ｃさんの得票が２００票となることがあり、このときＦさんは４位以下となる。

　従って、Ｆさんは、あと２００−１００＝１００票を獲得すれば良いことになる。

答：１００票

以上