第７０問の解答

１．問題　［整数の性質］

問題図
内側が全て鏡になっている丸い形をした筒があって、これを真上から見ると左図のようになります。

この筒の中の点ＰからＱ１に向けてレーザ光線を発射すると、この光は図のような反射を数回繰り返した後、筒内を何周かして元の場所のＱ１に戻ります。

最初に光を当てる角度を２７度にした場合について、
（１）光線は筒内を何周して元に戻るでしょうか？
（２）光が反射する場所は全部で何カ所になるでしょう？

　

２．解答例1（中村明海さん他）

参考図１

Ｑ１から反射してＱ２にいたるとき、三角形Ｏ．Ｑ１．Ｑ２は２等辺三角形なので、∠Ｑ１．Ｏ．Ｑ２＝１８０−２７×２＝１２６度になります。

ｎ回反射して元のＱ１に戻るとすると、１２６×ｎが３６０の倍数、すなわち１２６と３６０の最小公倍数になることである。
１２６＝７×１８と３６０＝２０×１８なので、最小公倍数は２５２０＝３６０×７＝１２６×２０であるから、ｎ＝２０となり７周することが分かる。

70-2.gif (6410 バイト)

答：（１）７周（２）２０回

以上