第７１問の解答

１．問題　［整数の性質］

１から１９９９までの整数の中に０という数字は何個出てくるでしょうか？

２．解答例1：どの位に０があるかに着目して数え上げ
　（takashiさん、妖怪信ちゃん、長野美光さん、ＤｒＫさん、ＫＩＲＩさん、たなかさん、算数大魔人さん他）

一の位に０がある場合：10,20,・・・1990 の１９９個

十の位に０がある場合：101,102,・・・,109
　　　　　　　　　　　　201,202, ・・・,209
　　　　　　　　　　　　　　・・・・
　　　　　　　　　　　　1901,1902, ・・・,1909の１９×１０＝１９０個

百の位に０がある場合：1001,1002,・・・,1099の９９個

よって、合計１９９＋１９０＋９９＝４８９個

答：４８９個

以上

３．解答例２：数字の桁数に着目して数え上げ：
　（わかさひ君、しぶあきさん、りさちゅう２さん、ｋｕｒｉ他）

４桁の場合：
1xyz でx,y,z は０から９までの数，したがって場合の数は１０x１０x１０=１０００，出てくる数字の総数は１０００x３=３０００，どの数も平等に現れるから０の数は３００個

３桁の場合：
xyｚで、ｘは１から９、y,z は０から９までの数、したがってあるｘに対して場合の数は１０x１０=１００，出てくる数字の総数は１００x２=２００、どの数も平等に現れるから０の数は２０個、よってｘは９通りなので３桁の数全部では２０x９=１８０個

２桁の場合：
x０でｘは１から９までなので、９個

合計３００+１８０+９=４８９個

４．解答例３：上位の０をまず消さずに数え上げ：（中村明海さん、井合宗太郎さん）

まず上位０を消さずに数えると、０００〜９９９で各桁１００個×３＝３００個、
１０００〜１９９９にも同じく３００個。

次に、上位の０をいくつ消せるかというと、百の位を１００個（０ｘｙ）、 十の位を１０個（０ｘ）、一の位を１個（０）

以上より、 ３００×２−１００−１０−１＝４８９個です。

５．解答例４：０の個数に着目して数え上げ：（alephさん、K. Yoshimuraさん）

０が１個の場合：
　ｘ０・・・９通り
　ｘｙ０，１ｘｙ０・・・２×８１通り
　ｘ０ｙ、１ｘ０ｙ・・・２×８１通り
　１０ｘｙ・・・８１通り
合計４１４通り×１個＝４１４個

０が２個の場合：
　ｘ００，１ｘ００・・・２×９通り
　１０ｘ０・・・９通り
　１００ｘ・・・９通り
合計３６通り×２個＝７２個

０が３個の場合：１０００の１通り×３個＝３個

従って、４１４＋７２＋３＝４８９個

６．解答例５：パソコンソフトを活用して数え上げ：（航介さん、柚奇 神太郎さん）

航介さんの場合：

柚奇 神太郎さんの場合：Mathematicaで作成

　Module[{a=0},
　If[#==0,a=a+1]&/@
　Flatten[Table[{a,b,c,d},{d,0,9},{c,0,9},
　{b,0,9},{a,0,1}]];a-1111]