第76問の解答
1.問題 [場合の数]
左図のように21個の点が等間隔に並んでいます。
このうち、3個の点をとって正三角形となるような、3個の点の選び方は何通りあるでしょう。
2.解答例1:
対象性より、正三角形となるように3個の点を選べば、各点を辺上に持つような正三角形が1個存在します。下図は、外側の正三角形の辺の長さがL=3のときの例です。
L=1、・・5について、このような正三角形が何種類あるか調べてみましょう。
上図から、Lと同じ数だけの種類の正三角形があることが分かります。
次に、各Lについて、外側の正三角形が全部で何個あるかを考えてみましょう。
下図はL=3の場合です。
頂点が何個あるかを数えればいいので、この場合は1+2+3=6通りあります。同様にして、
L=1のとき、1+2+3+4+5=15通り、
L=2のとき、1+2+3+4 =10通り、
L=3のとき、1+2+3 = 6通り、
L=4のとき、1+2 = 3通り、
L=5のとき、1 = 1通り、 合計35通りあります。従って、求める3個の点の選び方は、15×1+10×2+6×3+3×4+1×5=70通りあることが分かります。
答:70通り
以上
3.解答例2:一般解
一般に、元の正三角形の辺にある点がn個の時、求める正三角形を成す3点の選び方はan=n+2C4通りである。
本問題の場合は、n=6の場合で、6+2C4=8×7×6×5/4×3×2×1=70通りである。
(証明1)
解答例1と同様に、
an=Σ[(L=1,n-1)L×Σ(k=1,n-L)K]
従って、
an=Σ[(L=1,n-1)L(n-L)(n-L+1)/2]
=[n(n+1)Σ(L=1,n-1)L−(2n+1)Σ(L=1,n-1)L2+Σ(L=1,n-1)L3]/2
=[n(n+1)(n-1)n−(2n+1)(n-1)n(2n-1)/6+(n-1)2n2/4]/2
=(n+2)(n+1)n(n-1)/24
=n+2C4(証明2)サトラさんによる
「方針」:一番外側の正三角形(以下、正三角形Aと呼びます)に各辺が平行な正三角形(以下、正三角形Bと呼びます)を1つ決め、 正三角形Bの周上に3つの頂点をもつ正三角形(以下、正三角形Cと呼びます)を1つ決めるという選び方の場合数を求めます。
「詳細」:
正三角形Aの左辺からa回、下の辺からb回、右辺からc回、内側に向かって平行に狭めていくと、各辺に(n-a-b-c)点含まれる正三角形Bが1つ決まります。
ただし、あたりまえですが、a>=0,b>=0,c>=0,a+b+c=<n-2 になるようにします。正三角形Bの下辺の1点を正三角形Cの1頂点に選べば他の辺上の頂点も自動的に決まり、正三角形Cが1個決まります。(下辺での選択可能な点は一番左端から(n-a-b-c-1)個とし、一番右の点は右辺から選ぶ点と決め、下辺での選択肢に入れません。)
左端からd回(但し、o=<d=<n-a-b-c-2 )右側に行った点を正三角形Cの1頂点に決めると、正三角形Bの下辺で、正三角形Cの頂点より右に(n-a-b-c-d-2)点あります。(一番右端は除く。)
そこで、e=n-a-b-c-d-2 と 置くことにします。 当然、0=<e かつ、a+b+c+d+e=n-2 となります。
以上の条件を満たすようにa〜eを選べば、ちょうど1個正三角形が決まり、 また、すべての正三角形は上記の方法で選ぶことができます。
そこで、白石a個、黒石1個、白石b個、黒石1個、白石c個、黒石1個、白石d個、黒石1個、白石e個を(石の数は合計n-2+4=n+2個)ならべておく(つまり 1〜n+2の中の4つを選んで黒石にする)場合の数と、正三角形の数は等しいことがわかり、n+2C4個となります。