第７８問の解答

１．問題　［規則性・数列］

問題図
５ｃｍ×１０ｃｍの長方形のタイルが１０枚あります。
これを、縦が１０ｃｍ、横が５０ｃｍの長方形の箱に隙間なく敷き詰める場合、何通りの敷き詰め方がありますか？

２．解答例1：

箱の横の長さをｎ×５ｃｍとしたときの敷詰め方をｆ（ｎ）とし、ｎに関する漸化式で考えます。下図より、ｆ（１）＝１、ｆ（２）＝２となります。

参考図１

ｎ≧３のとき、箱の右端１０ｃｍの部分によって分類すると、下図のように３つのケースが考えられます。

参考図２

ケース１、ケース２はどちらも最後がタイルを縦においた場合であり、その左側は(n-1)×５ｃｍの箱になっているので、両者でちょうどｆ（n-1）通りとなります。
また、ケース３では最後の１０ｃｍの左側は(n-2)×５ｃｍの箱になっているので、ｆ（n-2）通りとなります。

従って、ｆ（n）＝ｆ（n-1）＋ｆ（n-2）となります。

参考図３

これより、ｆ（３）＝ｆ（２）＋ｆ（１）＝３、ｆ（４）＝ｆ（３）＋ｆ（２）＝５、・・と順次求めていけば、ｆ（１０）＝８９と求められます。　　　　

答：８９通り

以上