第79問の解答


1.問題 [場合の数

問題図
左図のように、幅が正方形の形に碁石を並べたものを2列の中空方陣と呼びます。

今、ここに何個かの碁石があります。
この碁石を全部使って3列の中空方陣を作るときと4列の中空方陣を作るときでは、外側の1列に並ぶ碁石の数が10個違ってきます。
碁石は全部で何個あるのでしょう?


2.解答例1:(ぱたさん)

参考図

正方形の周囲碁石の数は、一辺にある碁石数4倍になることに注目します。
また、中に入るごとに一返にある碁石数2個ずつ減っていきます。

図より、3列4列中空方陣の外側の3列一辺にある碁石数延べ30個の差ができます。
従って、4列中空方陣の最も内側の一辺にある碁石数30個と分かります。

これから4列中空方陣一辺にある碁石数は、順に32個、34個、36個となります。

これより、中空方陣合計碁石数(30+32+34+36)×4=528個と求められます。    

答:528個

以上


3.解答例2:(こだまさん、Miki Sugimotoさん、T.Endさん他)

中空方陣4つ合同な長方形に分割して考える。

参考図2

碁石の合計数が等しいことから、これらの長方形の中の碁石数も等しいことになる。

ところで、長方形の横の長さ10+1=11個分だけ3列中空方陣の方が長いので、
これをとすると、3×n=4×(n−11)となり、n=44が得られます。

従って碁石の合計数は、3×44×4=528個と分かります。


4.解答例4:(こだまさん、kuri他)

中空方陣碁石数合計は、正方形の面積から中空部分正方形の面積を除いたものとなる。

従って、3列の中空方陣外側の1列にある碁石数とすると、
 n2−(n−6)2=(n−10)2−(n−18)2 より、n=47を得ます。

よって、碁石数合計472−(47−6)2528個と分かります。