第83問の解答


1.問題 [空間図形

問題図

上図は、1辺6cm立方体上面下面の各辺の中点を通る平面立方体四隅を切り落としてできた直方体です。

左右の面および前後の面からも同様にして四隅を切り落としてできる立体の体積を求めて下さい。


2.解答例1:(たなかさん、ありさのお父さん、シイサンさん他多数)

上下、および左右から四隅を切り取った立体は下図のように底面が1辺6cm正方形で高さ3cm正四角錐2個合わせた形となります。

  参考図1

従って、この立体の体積をV2、元の立方体の体積をV0とすると、
  V0=6×6×6、V2=(6×6×3)×1/3×2=V0×1/3
となります。

さらに前後から四隅を切り取ると下図のような菱形12個の面からなる立体となります。

参考図2

(参考)マウスでドラッグして下さい。

これを下図のように、上面および下面対角線を通る平面2つに分割すると1つの切り取る立体TPQRS(四角錐)はTEFGH相似高さは半分、従って体積は1/8になります。

参考図3

従って、求める12面体体積V3とすると、
 V3=V2−(V2×1/2)×1/8×4=V2×3/4
となる。

以上から
 V3=V2×3/4=V0×1/3×3/4=V0×1/4=54cm3となります。


答:54cm3

以上


3.解答例2:(kuri他)

求める12面体は下図のように1辺が3cm立方体1個と底面が1辺3cmの正方形で高さ1.5cm正四角錐6個に分割されます。

参考図4

従って、体積は3×3×3+(3×3×3/2×1/3)×6=27+27=54cm3となります。

以上