第８３問の解答
１．問題 ［空間図形］
| 上図は、１辺が６ｃｍの立方体の上面と下面の各辺の中点を通る平面で立方体の四隅を切り落としてできた直方体です。 左右の面および前後の面からも同様にして四隅を切り落としてできる立体の体積を求めて下さい。 |
２．解答例1：（たなかさん、ありさのお父さん、シイサンさん他多数）
上下、および左右から四隅を切り取った立体は下図のように底面が１辺６ｃｍの正方形で高さ３ｃｍの正四角錐を２個合わせた形となります。
従って、この立体の体積をＶ2、元の立方体の体積をＶ0とすると、
Ｖ0＝６×６×６、Ｖ2＝（６×６×３）×1/3×２＝Ｖ0×1/3
となります。さらに前後から四隅を切り取ると下図のような菱形１２個の面からなる立体となります。
（参考）マウスでドラッグして下さい。
これを下図のように、上面および下面の対角線を通る平面で２つに分割すると、１つの切り取る立体ＴＰＱＲＳ（四角錐）はＴＥＦＧＨと相似で高さは半分、従って体積は１／８になります。
従って、求める１２面体の体積をＶ3とすると、
V3＝Ｖ2−（Ｖ2×1/2）×1/8×４＝Ｖ2×3/4
となる。
以上から
V3＝Ｖ2×3/4＝Ｖ0×1/3×3/4＝Ｖ0×1/4＝５４ｃｍ3となります。
答：５４ｃｍ3以上
３．解答例２：（ｋｕｒｉ他）
求める１２面体は下図のように１辺が３ｃｍの立方体１個と底面が１辺３ｃｍの正方形で高さ１．５ｃｍの正四角錐６個に分割されます。
従って、体積は３×３×３＋（３×３×３/２×1/3）×６＝２７＋２７＝５４ｃｍ3となります。
以上
