第84問の解答


1.問題 [場合の数

問題図
左図の中に「たけやぶやけた」と読むことができる並びは、何通りありますか?
ただし、同じ場所を2度通っても構いませんが、隣り合っていないマスに跳んではいけません。
また、同じルートを逆向きに読む場合は、別個に数えて下さい。

2.解答例1:(みのちゃん、tomhさん他)「た」と「ぶ」に注目

「た」を出発して「ぶ」を経由して「た」に行くと考えます。

(1)角の「た」から「ぶ」を経由して真ん中の「た」に行く場合、
  真ん中の「た」から「ぶ」を経由して角の「た」に行く場合

参考図1

 これは最短経路の進み方となるので、それぞれ
  (3+3)!/3!3!=6×5×4/3×2×1=20通り

「た」「た」の組み合わせは4×2=8通りあるので、合計20×8=160通り


(2)角の「た」から「ぶ」を経由して元の角の「た」に戻る場合、
  真ん中の「た」から「ぶ」を経由して真ん中の「た」に戻る場合

 「ぶ」への行ったあと、合い対する「た」に行くのと、元の「た」に戻る行き方は、対象性から同じなので、結局(1)の場合と同じそれぞれ20通りあり、「た」「た」の組み合わせも同じ8通りあるので、合計20×8=160通り

ただし、真ん中の「た」から外側の「ぶ」を経由して元の「た」に戻る場合をダブルカウントしているので、この4通りを除く必要があるので、160−4=154通り


(3)角の「た」から同じ辺にある他の角の「た」に行く場合

「た」「た」の組み合わせは8通りで、行き方はそれぞれ1通りだから合計8通り

以上から、160+156+8=324通りと分かります。


答:324通り

以上


3.解答例2:(ありさのお父さん)「ぶ」に注目

「ぶ」について,「ぶ」に到着する「たけやぶ」「ぶ」から出発する「ぶやけた
は同じ道を逆に見ているだけです。したがって,「ぶやけた」の数を数えて,
2乗すればよい。

(1)1列目の「ぶ」を経由する場合

参考図2

ひとつの「ぶ」に対して「ぶやけた」の数は 3個「ぶ」の数は4個
従って、2×4=36通り

(2)2列目の「ぶ」を経由する場合

参考図3

ひとつの「ぶ」に対して同じ「た」へ行くひとつの「ぶ」に対して「ぶやけた」の数は、最短経路となるので(1+2)!/1!2!=3通り。「た」2組あるので合計6通り

「ぶ」は合計8個あるので、2×8=288通り

以上から、36+288=324通りとなります。

以上