第８９問の解答

１．問題　［推理算］

問題図
１辺が１１個のマッチ棒からなる正方形を８個用意しました。
これを左図のように小さな正方形の数を変えないで並び替えて、マッチ棒を節約します。

最低何本のマッチ棒が必要でしょうか？

並び替えた形は長方形でなくてもかまいません。

２．解答例１

並び替えたときの小さな正方形の個数をＮ個とします。
題意よりＮ＝１１×１１×８＝９６８個になります。

参考図１

小さな正方形１個に対し、右側と左側のマッチ棒を対応させればまず２Ｎ本必要です。
さらに、一番外側の左（Ｌ本）と上側（Ｕ本）のマッチ棒も必要ですので、合計（２Ｎ＋Ｌ＋Ｕ）本になります。

従って、マッチ棒をできるだけ少なくするには、（Ｌ＋Ｕ）を最小にすれば良いと言うことになります。

Ｌ×Ｕ≧Ｎでなければなりませんので、
　Ｌ＋Ｕ≧２√Ｌ×Ｕ≧２√Ｎ

等号はＬ＝Ｕ＝√Ｎ＝３１．１１のときですが、Ｌ、Ｕは整数ですので、Ｕ＞Ｌと仮定するとＵ＝３２となりそうです。

Ｌ×３２≧９６８よりＬ≧９６８／３２＝３０．２５、よってＬ＝３１が最小。

以上より、最小値は２×９６８＋３２＋３１＝１９９９本となります。

このときのマッチ棒がつくる図形の形は、３１×３１個の長方形＋７個の長方形が考えられますが、他に２６×３６＋３２、２７×３５＋２３、２８×３４＋１６、２９×３３＋１１、３０×３２＋８でも可能である。


答：１９９９本

以上