第94問の解答


1.問題 [規則性

 ある月の1日から31日まで、毎日の2種類の製品1個ずつ購入することになりました。以下は、この製品の値動きを記録したものです。

製品X製品Yの値段は、1日には同じでした。
その後は、毎日a円ずつ値上がりし、さらにある日を境にb円ずつ値を下げ、結局31日には1日に比べて150円値上がりしました。
一方、製品Yは毎日c円ずつ値下がりし、が最高値を付けた3日後最安値を付けた後は、d円ずつ値を上げ、結局31日にはと同様に150円値上がりしていました。
 また、Xの最高値Yの最安値の差は900円でした。

この1ヶ月の間にを購入するのに要した代金の総額は、と比べていくら多かったのでしょう?


2.解答例1(DrKさん、長野美光さん、小太りおじさん他多数)

Xの購入費総額−Yの購入費総額=Xの価格のグラフの面積−Yの価格のグラフの面積、すなわち下図青い部分四角形の面積と考えることが出来る。(参考を参照
参考図1

外側の長方形の面積=900×30から真ん中の長方形の面積=150×3を除いたものが、求める面積から真ん中の長方形を引いた面積の2倍に等しい。

よって、求める面積=(900×30−150×3)×1/2+150×3=13725

従って購入費用総額の差13725円となります。

答:13725円

以上


3.解答例2(sambaGREENさん、kuri他)

解答例1と同様、下図の四角形PQRSの面積と考える。

参考図2

 四角形PQRS
   =5角形PQRST−△PST
   =(四角形PQRT+△RST)−△PST
   =(長方形ABTQ×1/2+長方形QTCD×1/2)+(△RST−△PST)
   =900×30×1/2+150×3×1/2=13725円

 

(参考)面積で求められること

X、Yの毎日の価格をX1、X2、X3、・・・、X31、Y1、Y2、Y3、・・・、Y31とする。
また、はn日に最高値Xnをとり、は、その3日後m日最安値をとるものとする。

参考図2

Xの費用計n日の真ん中で2分して考えると、1日目のX1の半分S01日からn日までの面積S1n日から31日の面積S231日X31の半分S3の合計となることが分かる。
よって、Xの費用計=S0+S1+S2+S3。
同様に、Yの費用計=S0+S4+S5+S3

従って、Xの費用計−Yの費用計
 =(S0+S1+S2+S3)−(S0+S4+S5+S3)
 =(S1+S2)−(S4+S5)


4.解答例3

X1、X2、・・・XnXn、Xn+1、・・X31、およびY1、Y2、・・・YmYm、Ym+1、・・Y31等差数列だから、

Xの費用計=(X1+X2+・・+Xn)+(Xn+Xn+1+・・+X31)−Xn
 =(X1+Xn)×1/2×n+(Xn+X31)×1/2×(32−n)−Xn
 =X1×1/2×n+Xn×15+X31×1/2×(32−n)

Yの費用計=(Y1+Y2+・・+Ym)+(Ym+Ym+1+・・+Y31)−Ym
 =(Y1+Ym)×1/2×m+(Ym+Y31)×1/2×(32−m)−Ym
 =Y1×1/2×m+Ym×15+Y31×1/2×(32−m)

X1=Y1、X31=X31より、
Xの費用計−Yの費用計
 = X1×1/2×(n−m)+(Xn−Ym)×15+X31×1/2×(m−n)
 =(Xn−Ym)×15+(X31−X1)×(m−n)
 =900×15+150×1/2×3=13725円