第95問の解答


1.問題 [平面図形

参考図1
 直経10cmの内部に、同じ大きさの正方形タイルを数枚、左図のように縦横まっすぐに並べました。
このとき使用したタイル面積の総計58/9cm2でした。

さてこの場合、何枚のタイルを使ったのでしょうか?

 


2.解答例1(長野美光さん、わかさひ君、ヒデー王子他)

タイルを対角線の長さが10cm正方形の端に集めると 、残りも正方形になります。

参考図1

大きい正方形の面積は、102/2=50cm2、小さい正方形は、(50-58/9)=392/9cm2
面積比は、50:392/9=225:196、よって相似比は√225:√196=15:14

よって,タイルは対角線上に15個並んでいる。全部では、15×2−1=29個となる。

答:29個

以上


3.解答例2(むらかみさん他)

同じ数のタイルを加え、下図のように並べると、縦と横の長さが10p十字になります。

参考図2

 タイルの面積は、58/9×2=116/9
よって、4つある正方形の面積は、(10×10−116/9)/4=196/9
この正方形の1辺は、√196/914/3

よって、小さい正方形の1辺は、10−14/3×2=2/3cm
縦に並ぶ正方形の数は、10/(2/3)=15個
全体では15+14=29個

従って、元のタイルも29個あったことになる。

 


4.解答例3(杉本未来さん、ありさのお父さん、KIRIさん他多数)

1列のタイルの数をとすると、1辺の長さは10/n、よって面積は (10/n)2/2 cm2
タイルの数は、2×n−1個あるので、面積は
  (10/n)2/2×(2×n−1)=58/9
  (2×n−1)/n2=29/(9×50)

これを解くと、n=15、15/29を得るが、後者は不適。よって、n=15個

全体では、2×15−1=29個となる