第９７問の解答
１．問題 ［整数の性質］
| 白石と黒石と小箱が何個かずつあります。 最初それぞれの小箱に白石と黒石の個数の比が５：９になるように石を入れていこうとしたところ、白石は３個余り、黒石は６個不足しました。 では、白石は何個あるのでしょうか？ |
２．解答例１（杉本未来さん、YokoyaMacさん、CRYING DOLPHINさん他多数）
図１
白石、黒石の個数をｗ、ｂ個とする。また、最初白石５個と黒石９個を１袋にして合計ｘ袋に入れたとし、あとは白石４個と黒石７個を１袋にして合計ｙ袋に入れたものとする。
ｗ＝５ｘ＋３＝４ｙ−10 ・・・・ （１）
ｂ＝９ｘ−６＝７ｙ＋７ ・・・・ （２）
が成り立ちます。（１）、（２）より
−５ｘ＋４ｙ＝１３ ・・・・ （３）
９ｘ−７ｙ＝１３ ・・・・ （４）（３）×７＋（４）×４より、ｘ＝１１×１３＝１４３
（３）×９＋（４）×５より、ｙ＝１４×１３＝１８２よって、ｗ＝５×１４３＋３＝７１８、ｂ＝９×１４３−６＝１２８１
答：７１８個
以上
３．解答例２（ヒデー王子さん他）
図１より白石黒石全体で考えると、２通りの入れ方は共に３個不足するので、ｗ＋ｂ＋３は、５＋９＝１４の倍数かつ４＋７＝１１の倍数。１４と１１は互いに素だから１４×１１の倍数にもなる。従って、ｗ＋ｂ＋３＝１４×１１×ｐとすると、ｘ＝１１ｐ、ｙ＝１４ｐとなる。
大きな袋を用意して、白石５×１１＝５５個、黒石９×１１＝９９個をｐ袋に、白石４×１４＝５６個、黒石７×１４＝９８個をｐ袋に入ることになる。
図２
白石の合計数で見ると、後からのほうが５６−５５＝１個ずつ多くなっており、この結果袋の外の白石が差し引き＋３−（−１０）＝１３個少なくなっている。
これから、ｐ＝１３が得られ、ｗ＝５×１１×１３＋３＝７１８個と分かる。