第103問の解答
1.問題 [平面図形]
左図のように、中心角が90度の扇形OABの円周部分に、これを3等分する点MとNをとって、それぞれ結びました。 図の三角形OPQと三角形BNQの面積比は何:何でしょうか?
2.解答例1(サンデー毎日願望男さん、南の源さん、長野 美光さん、CRYING DOLPHINさん、fumioさん他)
下図のように、△AOM=△AMN=△ANBと△OPQ、および△APM=△NBQは相似な2等辺三角形となります。
円の半径OB=1とすると、NからOBへ下ろした垂線の長さ=1/2となるので、
△OBN=1/2×(1×1/2)=1/4、
△OAB=1/2×(1×1)=1/2。よって、四角形ABNM=△OBN×3−△OAB=1/4×3−1/2=1/4。
従って、四角形ABNM=△OBN=△OMNとなるので、共通部分である四角形PQNMの面積を除くと、△OPQ=△APM+△BNQ=△BNQ×2。
よって、△OPQ:△BNQ=2:1となります。
答:2:1
以上
3.解答例2(ありさのお父さん、長野美光さん他)
△OQBについて正弦定理より、OQ/sin45°=BQ/sin30°。
よって、OQ:BQ=sin45°: sin30°=√2/2 :1/2=√2:1。
△OPQと△BNQは相似なので面積は、辺の2乗に比例。
△OPQ:△BNQ=OQ2:BQ2=2:1。