第103問の解答


1.問題 [平面図形

問題図
 左図のように、中心角90度扇形OABの円周部分に、これを3等分する点MとNをとって、それぞれ結びました。

図の三角形OPQ三角形BNQ面積比何:何でしょうか?

 

 


2.解答例1(サンデー毎日願望男さん、南の源さん、長野 美光さん、CRYING DOLPHINさん、fumioさん他)

下図のように、△AOM=△AMN=△ANB△OPQ、および△APM=△NBQは相似な2等辺三角形となります。

参考図1

円の半径OB=1とすると、からOBへ下ろした垂線の長さ=1/2となるので、
 △OBN=1/2×(1×1/2)=1/4
 △OAB=1/2×(1×1)=1/2

よって、四角形ABNM=△OBN×3−△OAB=1/4×3−1/2=1/4。

従って、四角形ABNM=△OBN=△OMNとなるので、共通部分である四角形PQNMの面積を除くと、△OPQ=△APM+△BNQ=△BNQ×2

よって、△OPQ:△BNQ=2:1となります。

答:2:1

以上


3.解答例2(ありさのお父さん、長野美光さん他)

△OQBについて正弦定理より、OQ/sin45°=BQ/sin30°

よって、OQ:BQ=sin45°: sin30°=√2/2 :1/2=√2:1。

△OPQ△BNQは相似なので面積は、辺の2乗に比例。

△OPQ:△BNQ=OQ2:BQ22:1