第１１４問の解答

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１．問題　［規則性］

８分で燃え尽きる線香が３本あります。これらを使って１分、２分、・・・、１２分など整数に相当する時間を計りたいと思います。 　例えば、線香２本を使って次のようにすれば２分を計ることが出来ます。（図１） １本目の両方に、２本目の片方に火を付ける １本目が燃え尽きた時（４分後）に、２本目のもう片方に火を付ける ２本目は残り４分残っているので、両側から燃やすと２分で燃え尽きる 　さて、３本の線香では計れない時間は何分でしょうか？、全てを答えて下さい。

図１

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２．解答例１（むらかみさん、大岡　敏幸さん、パリンさん、清川育男さん、中村明海さん他）

（１）線香が１本を使用して、８分と４分が計れます。

（２）また、問題に示されたように線香を２本使うと、全体で６分、ｔ＝４〜６で２分が計れます。

（３）次に、図２のように、

• １本目は両端に、２本目と３本目は片側に火を付けます
• １本目が燃え尽きたとき（４分後）、２本目の残った片側に火を付けます
• ２本目が燃え尽きたとき（さらに２分後）、３本目の残った側に火を付けます。
  １分で燃え尽きます

すると、全体で７分、ｔ＝４〜７で３分、ｔ＝６〜７で１分が計れます。

図２

（４）今度は、図３のように、

• １本目は両端に、２本目は片側に火を付け、３本目はそのままにします
• １本目が燃え尽きたとき（４分後）、２本目の残った片側と３本目の片側に火を付けます
• ２本目が燃え尽きたとき（さらに２分後）、３本目の残った側に火を付けます。
  ３分で燃え尽きます

すると、全体で９分、ｔ＝４〜９で５分が計れます。

図３

（５）また図４のように、２本を使用して、

• １本目は両側に火を付けます
• １本目が燃え尽きたとき（４分後）、２本目の片側に火を付けます
• ２本目が燃え尽きるのは、その８分後になります

全体で、１２分が計れます。

図４

（６）さらに、図５のように、３本を使用して、

• １本目は両側、２本目は片側に火を付け、３本目はそのままにします

• １本目が燃え尽きたとき（４分後）、２本目のもう片側に火を付けます

• ２本目が燃え尽きたとき（さらに２分後）、３本目の片側に火を付けます。
  燃え尽きるまでにそれから８分掛かります。

ｔ＝４〜１４で１０分が計れます。

以上から、１１分を除く全ての時間が計れることが分かります。

１１分を計るには、３分＋８分が必要ですが、３分を計るのに線香は３本必要になりますので（２本で計れるのは２、４、６、８分のみ）、１１分を計るのには線香は４本必要になります。

答：１１分

以上

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