第115問の解答


1.問題 [平面図形

問題図

 左図の四角形ABCDは、直角で、AB=BCです。

ACD15度のとき、DE:EBは、いくらになるでしょうか?

 


2.解答例1(sambaGREENさん、長野美光さん、ありさのお父さん他)

ABCと角ADCは、ともに直角だからABCD同一円周上にある。
の中心をとすると、AO、BO、CO、DOは全て円の半径rに等しい。

図1
参考図
図2
参考図2

さて、からACに下ろした垂線の足とする。

角DCA=角ABD=15°(円周角)、角ODC=角OCD=15°(2等辺三角形)

よって、角AOD=角ODC+角OCD=30°となり、三角形ODHは角度が30、60、90°直角三角形になる。

従って、DH=r×1/2と分かります。
 △ACD=1/2×AC×DH、△ABC=1/2×AC×BO、
よって、△ACD:△ABC=DH:BO=1:2

また、図2のように考えると、
 △ACD1/2×DE×h1+1/2×DE×h2=1/2×DE×(h1+h2)、
 
△ACB1/2×EB×h1+1/2×EB×h2=1/2×EB×(h1+h2)、
よって、△ACD:△ABC=DE:EB=1:2

答:1:2

以上


3.解答例2(ヒデー王子さん、たなかさん他)

ABCD外接円中心OからDBへ下ろした垂線の足とする。

参考図3

OD=OB、角ODG=角OBG=30°、よって、DG=BG

角OEG=180−(角EBO+角BOE)=180−(30+90)=60°
よって、EG:EO=1:2。ここで、EG=1とすると、EO=2

また、EO:EB=1:2より、EB=4
GB=EB−EG=3
DE=DG−EG=GB−EG=3−1=2

よって、DE:EB=2:4=1:2


4.解答例3(むらかみさん他)

CDを軸にして三角形ADCを折り返し、三角形A'DCを作り、A'からACへ下ろした垂線の足をとする。

参考図4

角A'CH=角ACD+角A'CD=15+15=30°
よって、A'CHは、角度が30、60、90°の直角三角形となり、
A'H=A'C×1/2=AC×1/2

また、ABCは、2等辺直角三角形なので、BO=AC×1/2

 △A'AC=1/2×AC×A'H、△ABC=1/2×AC×BO
よって△A'AC=△ABC

△DAC=1/2×△A'AC=1/2×△ABC

以下、解答例1と同じ。


5.解答例4(kuri他)

ACを軸にして三角形ADCを折り返し、三角形AFCを作る。

参考図5

角ADC=角AFC=角ABC=直角より、ABCDおよび同一円周上にある。

対象性より、DE=FE角AEF=角AED

角AEF=角AED=角EDC+角DCE=45+15=60°
角BEC=角AED=60°
よって、角FEB=180−(角AEF+角BEC)=180−(60+60)=60°

また、角FBE=角FCD=30°(円周角)。

従って、三角形EFBは、角度が30、60、90°の直角三角形になり、
FE:EB=1:2、よってDE:EB=1:2


6.解答例5(まさぴょんさん他)

参考図6

正弦定理より、
 DE/sin(75)=AE/sin(45)、EB/sin(45)=AE/sin(15)

DE/EB
 =(sin(75)/sin(45))/(sin(45)/sin(15))
 =(sin(75)sin(15))/(sin(45)sin(45))
 =(2sin(15)cos(15))/(2sin(45)cos(45))
 =sin(30)/sin(90)
 =1/2

よって、DE:EB=1:2