第１１５問の解答
１．問題 ［平面図形］
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２．解答例１（sambaGREENさん、長野美光さん、ありさのお父さん他）
角ＡＢＣと角ＡＤＣは、ともに直角だからＡＢＣＤは同一円周上にある。
円の中心をＯとすると、ＡＯ、ＢＯ、ＣＯ、ＤＯは全て円の半径ｒに等しい。
図１ |
図２ |
さて、ＤからＡＣに下ろした垂線の足をＨとする。
角ＤＣＡ＝角ＡＢＤ＝１５°（円周角）、角ＯＤＣ＝角ＯＣＤ＝１５°（２等辺三角形）
よって、角ＡＯＤ＝角ＯＤＣ＋角ＯＣＤ＝３０°となり、三角形ＯＤＨは角度が３０、６０、９０°の直角三角形になる。
従って、ＤＨ＝ｒ×1/2と分かります。
△ＡＣＤ＝1/2×ＡＣ×ＤＨ、△ＡＢＣ＝1/2×ＡＣ×ＢＯ、
よって、△ＡＣＤ：△ＡＢＣ＝ＤＨ：ＢＯ＝１：２。また、図２のように考えると、
△ＡＣＤ＝1/2×ＤＥ×h1＋1/2×ＤＥ×h2＝1/2×ＤＥ×（h1+h2)、
△ＡＣＢ＝1/2×ＥＢ×h1＋1/2×ＥＢ×h2＝1/2×ＥＢ×（h1+h2)、
よって、△ＡＣＤ：△ＡＢＣ＝ＤＥ：ＥＢ＝１：２。答：１：２
以上
３．解答例２（ヒデー王子さん、たなかさん他）
ABCDの外接円の中心ＯからＤＢへ下ろした垂線の足をＧとする。
ＯＤ＝ＯＢ、角ＯＤＧ＝角ＯＢＧ＝３０°、よって、ＤＧ＝ＢＧ。
角ＯＥＧ＝１８０−（角ＥＢＯ＋角ＢＯＥ）＝１８０−（３０＋９０）＝６０°、
よって、ＥＧ：ＥＯ＝１：２。ここで、ＥＧ＝１とすると、ＥＯ＝２。また、ＥＯ：ＥＢ＝１：２より、ＥＢ＝４。
ＧＢ＝ＥＢ−ＥＧ＝３、
ＤＥ＝ＤＧ−ＥＧ＝ＧＢ−ＥＧ＝３−１＝２。よって、ＤＥ：ＥＢ＝２：４＝１：２。
４．解答例３（むらかみさん他）
ＣＤを軸にして三角形AＤＣを折り返し、三角形Ａ'ＤＣを作り、Ａ'からＡＣへ下ろした垂線の足をＨとする。
角Ａ'ＣＨ＝角ＡＣＤ＋角Ａ'ＣＤ＝１５＋１５＝３０°。
よって、Ａ'ＣＨは、角度が３０、６０、９０°の直角三角形となり、
Ａ'Ｈ＝Ａ'Ｃ×1/2＝ＡＣ×1/2。また、ＡＢＣは、２等辺直角三角形なので、ＢＯ＝ＡＣ×1/2。
△Ａ'ＡＣ＝1/2×ＡＣ×Ａ'Ｈ、△ＡＢＣ＝1/2×ＡＣ×ＢＯ、
よって△Ａ'ＡＣ＝△ＡＢＣ。△ＤＡＣ＝1/2×△Ａ'ＡＣ＝1/2×△ＡＢＣ。
以下、解答例１と同じ。
５．解答例４（ｋｕｒｉ他）
ACを軸にして三角形AＤＣを折り返し、三角形ＡFＣを作る。
角ＡＤＣ＝角ＡＦＣ＝角ＡＢＣ＝直角より、ＡＢＣＤおよびＦは同一円周上にある。
対象性より、ＤＥ＝ＦＥ、角ＡＥＦ＝角ＡＥＤ。
角ＡＥＦ＝角ＡＥＤ＝角ＥＤＣ＋角ＤＣＥ＝４５＋１５＝６０°。
角ＢＥＣ＝角ＡＥＤ＝６０°。
よって、角ＦＥＢ＝１８０−（角ＡＥＦ＋角ＢＥＣ）＝１８０−（６０＋６０）＝６０°。また、角ＦＢＥ＝角ＦＣＤ＝３０°（円周角）。
従って、三角形ＥＦＢは、角度が３０、６０、９０°の直角三角形になり、
ＦＥ：ＥＢ＝１：２、よってＤＥ：ＥＢ＝１：２。
