第117問の解答


1.問題 [平面図形

問題図

 左図のようなAD=BC=35cm平行四辺形があります。
 点は、を出発して毎秒1cmの速さでまで動きます。
 点と同時に出発して毎秒6cmの速さでCB間を3往復します。
 出発後、四角形ABQPの面積が平行四辺形ABCD半分になるのは、出発から何秒後になるでしょう?

答が複数あるときは、全てを求めて下さい。


2.解答例1(たなかさん、ありっちさん、有無相生さん他)

ABQPの面積が平行四辺形ABCD半分になるのは、AP=CQとなるときである。

参考図1

従って、p(t)=AP、q(t)=CQとすると、y=p(t)、y=q(t)のグラフの交点を求めれば良いことになる。上図から、つの答(t1、t2、・・・t5)があることが分かる。

(1)t1
 の動く速さは6倍であることから、t=0〜t1間でQが進む距離は、同じ時間にが進む距離t16倍。また、t=t1〜35/3Qが動く距離もt1である。
 よって、t1×(6+1)=2×35、t1=35×2/7=10秒後

参考図2

(2)t2
 の動く速さは6倍であることから、t=0〜t2間でQが進む距離は、同じ時間にが進む距離t26倍。また、t=35/3〜t2Qが動く距離もt2である。
 よって、t2×(6−1)=2×35、t2=35×2/5=14秒後

参考図3

(3)t3
 t=0〜t3間でQが進む距離は、同じ時間にが進む距離t36倍。また、t=t3〜35・2/3Qが動く距離もt3である。
 よって、t3×(6+1)=4×35、t3=35×4/7=20秒後

(4)t4
 t=0〜t4間でQが進む距離は、同じ時間にが進む距離t46倍。また、t=35・2/3〜t4Qが動く距離もt4である。
 よって、t4×(6−1)=4×35、t4=35×4/5=28秒後

(5)t5
 の動く速さは6倍であることから、t=0〜t5間でQが進む距離は、同じ時間にが進む距離t56倍。また、t=t5〜35Qが動く距離もt5である。
 よって、t5×(6+1)=6×35、t5=35×6/7=30秒後

答:10、14、20、28、30秒後

(参考)

参考図4

以上


3.解答例2(航介さん他)

(1)t1、t3、t5
  q(t)=6×(35×n/6−t)+35、p(t)=t(ただし、n=1、3、5
 よって、
  6×(35×n/6−t)+35=t、7t=(n+1)×35、t=(n+1)×5
 すなわち、t1=10、t3=20、t5=30

(2)t2、t4
  q(t)=6×(t−35×n/6)、p(t)=t(ただし、n=2、4
 よって、
  6×(t−35×n/6)=t、5t=n×35、t=n×7
 すなわち、t2=14、t4=28

以上