第１２1問の解答
１．問題 ［平面図形］
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左図のように、正方形の折り紙を、 α＝１０５°、β＝４５°とすると、γは何度になるでしょう？ |
２．解答例１
(Taroさん、Mikiさん、ありっちさん、DrKさん、数楽者さん、あんみつさん、有無相生さん、他多数)
右図で、角A'PD＝角A'PB'+角ＱＰＤ−角ＱＰＢ'が成り立ちます。
すなわち、δ＝α＋γ−β、よってα＋γ＝β＋δ。ところが、（α＋γ）＋（β＋δ）＝３６０°より、
α＋γ＝β＋δ＝１８０°、
γ＝１８０°−β＝１８０°−１０５°＝７５°となります。答：７５°
以上
(参考)点Ｐ、Ｑを求める。
α、δが一定値（α、δ＞１８０°）をとるとき、点Ｐ、Ｑは円弧ＡＢ、ＡＤ上を動くので、これらの２つある交点のうち、点Ａでないほうとなる。（図１）
従って、点Ｐは１個のみ存在する。
図１
図２
円弧ＡＢの中心Ｅは、正方形の中心Ｏと辺ＡＢの中点を延長した線上にある。
円弧ＡＢとＯＥの交点をＳとする。ＡＳ＝ＢＳより、角ＡＳＥ＝角ＡＳＢ／２＝α／２。
ＥＡ＝ＥＳより、角ＥＡＳ＝角ＥＳＡ＝α／２。よって、角ＡＥＳ＝１８０°−（角ＥＡＳ＋角ＥＳＡ）＝１８０°−α。
角ＥＡＢ＝角ＥＢＡ
＝１８０°−（角ＡＥＳ＋９０°）
＝１８０°−（１８０°−α＋９０°）
＝α−９０°。従って、円弧ＡＢの中心Ｅは、Ａ、Ｂよりα−９０°の角度で直線をそれぞれ引いたときの交点となる。
同様にして、円弧ＡＤの中心Ｆは、Ａ、Ｄよりδ−９０°の角度で直線をそれぞれ引いたときの交点となる。
さて、点Ｐは、円Ｅの円周上、円Ｆの円周上にあるので、ＥＦとＡＰの交点をＨとすると、
ＥＦとＡＰは直交し、ＡＨ＝ＨＰとなる。従って、点Ｐは、点Ａから辺ＥＦに垂線を下ろし、その足をＨとして、ＨＰ＝ＡＨとなるように点Ｐを求めればよいことになる。
また、点Ｑは、点Ｐから角ＤＰＱ＝γとなるよう直線を引き、辺ＢＣとの交点とすれば良い。
以上
