第124問の解答


1.問題 [平面図形

問題図

左図の△ABCは、次のような三角形です。
面積を求めて下さい。

  • D、E、Fは、辺BC、CA、AB中点

  • FP、EQAD垂直で長さはともに15cm 

  • AP20cm、PQ16cm、QD20cm

 


2.解答例1(わかさひ君、清川育男さん、巷の夢さん、DrKさん、大岡敏幸さん、ハラギャーテイさん、他多数)

B、CからADへ下ろした垂線の足をR、Sとします。

参考図1


ABRについて、中点連結定理より、BR=2×FP=30cm
同様に、SC=2×QE=30cm

ABC=△ABD+△ADC
  =1/2×AD×BR+1/2×AD×QE
  =1/2×56×30×2
  =1680cm2



答:1680cm2

以上


3.解答例2(航介さん他)

参考図2

AFD=1/2×AD×FP=1/2×56×15=420cm。
AED=1/2×AD×QE=1/2×56×15=420cm。

ABC=△ABD+△ADC
  =△AFD×2+△AED×2
  =420×2×2
  =1680cm2


4.解答例3(きょえぴさん、ありっちさん、Taroさん他)

参考図3

AFP三平方の定理を用いて、
 AF2AP2PF2202152625
よって、AF25cm、AB50cm。 

AEQ三平方の定理を用いて、
 AE2AQ2QE23621521521
よって、AE39cm、AC78cm。

ABC中線定理を用いて、
 AB2AC2=2(AD2BD2
BD2=(AB2AC2)/2−AD2
  =(502782)/2−562
  =1156
よって、BD34cm、BC68cm。 (注)

ABCは、ヘロンの公式を用いると、三辺が50cm、78cm、68cmだから、=(50+78+68)/2=98として、
ABC=√98(98−50)(98−78)(98−68)
  =√2822400
  =1680cm2

(注)BD=DCを求める別の方法:
 RD=AD−AR=56−40=16
 △BDR三平方の定理を用いて、
 BD2BR2RD23021621156
 よって、BD34cm。

(参考)QDAPに等しいので長さが与えられていなくても良い
  また、BD=DCも題意より求まるので条件に無くて良い。

BDRと△CDSは、相似でBRCS30cmなので合同。
よって、RDDS、BD=DC

従って、
AD=(ARAS)/2
  =(AP×2+AQ×2)/2
  =AP+(APPQ
ADAPPQQDでもあるので、AP=QDとなる。


5.解答例4(トトロ@Nさん) 

図1
参考図4
図2
参考図5

AFPを180度回転しFBに、△AEQを180度回転しECに合わせる。(図1)
さらに、四角形QGCDを180度回転しBDに合わせる。(図2)

出来た図形は、辺の長さが2×FP30cm、AQQD56cmの長方形となる。

よって、△ABC=長方形の面積=30×561680cm2となる。