第125問の解答


1.問題 [整数の性質

ある大きな整数Xがあります。この整数Xから50までの全ての整数で割ってみたところ、を割ったときの答が整数にならないものが、の2個だけでした。また、の差はでした。

では、この整数Aでしょうか?


2.解答例1(Taroさん、わかさひ君長野美光さん、АЯСさん、ともき先生清川育男さん、あずさ猫さん、micky99558さん、他多数)

整数NがA、Bに該当する可能性について考えましょう。

1.Nの素因数が複数のとき

N=P×Qとします。(ただし、2≦≦50で、互いに素整数
の差はより大なので、題意よりで割り切れ、では割り切れないことになるが、これはありえない。

よって、は、素因数が1個でなければならない。 ・・(1)

2.Nの倍数が50以下に存在するとき

M=N×Pとします。(だだし、2≦N、M≦50、Pは2以上の整数)
の差はより大なので、題意よりで割り切れ、では割り切れないことになるが、これはありえない。

従って、2≦≦25ならば、2<=2≦50となり、50以下の倍数が存在するので不適。
よって、25≦でなければならない。 ・・(2)

3.素数のべき乗(素数自身を含む)のとき

1.素因数が1個の場合に該当するが、(2)よりの倍数が50以下に存在してはいけないので、ある素数のべき乗のなかでは、50以下の最大値のみが該当する可能性がある。

もし、その素数奇数とするとべき乗である奇数となり、−1、+1とも偶数になるので、−1、+1のいずれかがべき乗でなければならない。

また、連続した整数のうちいずれかは偶数なので、A,Bともに素数とはならない。

以上から、ABのいずれかは、2のべき乗で最大のもの、すなわち532であることが分かる。

32−1=31素数32+1=33=3×11なので31が適。

参考図


答:31、32

以上