第１２５問の解答

１．問題　［整数の性質］

ある大きな整数Ｘがあります。この整数Ｘを２から５０までの全ての整数で割ってみたところ、Ｘを割ったときの答が整数にならないものが、ＡとＢの２個だけでした。また、ＡとＢの差は１でした。

では、この整数Ａ、Ｂは何と何でしょうか？

２．解答例１(Taroさん、わかさひ君、長野美光さん、АЯСさん、ともき先生、清川育男さん、あずさ猫さん、micky99558さん、他多数)

整数ＮがＡ、Ｂに該当する可能性について考えましょう。

１．Ｎの素因数が複数のとき

N=P×Qとします。（ただし、２≦Ｎ≦５０で、Ｐ、Ｑは互いに素な整数）
ＮとＰ、Ｑの差は１より大なので、題意よりＸをＮで割り切れ、Ｐ、Ｑでは割り切れないことになるが、これはありえない。

よって、Ｎは、素因数が１個でなければならない。　・・（１）

２．Ｎの倍数が５０以下に存在するとき

Ｍ＝Ｎ×Ｐとします。（だだし、２≦Ｎ、Ｍ≦５０、Ｐは２以上の整数）
ＮとＰの差は１より大なので、題意よりＸをＮで割り切れ、Ｍでは割り切れないことになるが、これはありえない。

従って、２≦Ｎ≦２５ならば、２＜Ｍ＝２Ｎ≦５０となり、５０以下の倍数が存在するので不適。
よって、２５≦Ｎでなければならない。　・・（２）

３．素数のべき乗（素数自身を含む）のとき

１．素因数が１個の場合に該当するが、（２）よりＮの倍数が５０以下に存在してはいけないので、ある素数のべき乗のなかでは、５０以下の最大値のみが該当する可能性がある。

もし、その素数が奇数とするとべき乗であるＮも奇数となり、Ｎ−１、Ｎ＋１とも偶数になるので、Ｎ−１、Ｎ＋１のいずれかが２のべき乗でなければならない。

また、連続した整数のうちいずれかは偶数なので、Ａ，Ｂともに素数とはならない。

以上から、A、Bのいずれかは、２のべき乗で最大のもの、すなわち２5＝３２であることが分かる。

３２−１＝３１は素数、３２＋１＝３３＝３×１１なので３１が適。

参考図


答：３１、３２

以上