第128問の解答
1.問題 [平面図形]
四角形ABCDの辺BCの中点をMとして、左図のように3つの部分に区切ったところ、△ABMと△ADMは二等辺三角形に、△DCMは直角二等辺三角形になりました。
このとき、△ABM:△ADM:△DCMの面積比を答えて下さい。
2.解答例1(ありっちさん、小太りおじさん、他)
AからBCに下ろした垂線の足をE、ACとMDとの交点をF、FからBCに下ろした垂線の足をGとします。
△ABMは二等辺三角形だから、EはBMの中点となり、BE=EM。
△ADM、△DCMはともに二等辺三角形だから、FはMDの中点となり、MF=FD。
よって、中点連結定理より、MG=GC。
BM=MCなので結局、BE=EM=MG=GC。MF=FDなので、△MFC、△CFDとも直角二等辺三角形となり、
∠ACB=45度、よって△ACEも直角二等辺三角形。△AECと△FGCは相似、相似比はEC:GC=3:1。
よって、AE:FG=3:1、AF:FC=EG:GC=2:1。△ABMと△FMCは、底辺の長さが等しい(BM=MC)ので、面積比は高さの比=AE:FG=3:1。
△DCM=2×△FMCなので、△ABM:△DCM=3:2。△ADMと△DCMは、底辺の長さ(DM)が等しいので、面積比は高さの比=AF:FC=2:1=4:2。
よって、△ABM:△ADM:△DCM=3:4:2となります。
答:3:4:2
以上
3.解答例2(Taroさん、わかさひ君、 うっしー&翔太さん、他多数)
BMの中点をEとし、二等辺三角形ABMの半分ABEを移動し、ABをADと重ねたものをADHとします。
∠ADH=∠ABE=∠AME、∠ADM=∠AMD、∠MDC=∠DMC。
∠ADH+∠ADM+∠MDC=∠AME+∠AMD+∠DMC=180度。
よって、H、D、Cは一直線上に並ぶことになり、四角形AECHは正方形となります。BE=EM=1とおくと、MC=BM=2、よってEC=3となります。
よって、正方形AECH=3×3=9。さて、△ABM=1/2×2×3=3、△AEM=△ADH=3/2。
△DCM=1/2×2×2=2。よって、△ADM
=正方形AECH−(△AEM+△ADH+△DCM)
=9−(3/2+3/2+2)
=4。よって、△ABM:△ADM:△DCM=3:4:2。
4.解答例3(大岡敏幸さん、あまれっとさん、他)
ADを結び、中点をPとし、ACとDMの交点をQとします。
BM=MC=2とすると、CD=MC=2。
BD2=BC2+CD2=42+22=20。
よって、BD=2√5、BP=√5。∠BAM+∠MAD
=(180度−2×∠AMB)+(180度−2×∠AMD)
=2×(180度−∠AMB−∠AMD)
=2×45度
=90度
よって、△ABDは直角二等辺三角形。
△ABD=2×△ABP=5。従って、
四角形ABCD
=△ABD+△DBC
=5+4=9。よって、△ABM=△AMC=△ACD=3。
また、△DCM=2だから
△ADM
=四角形ABCD−△ABM−△DCM
=9−3−2
=4。よって、△ABM:△ADM:△DCM=3:4:2。
5.解答例4(中村明海さん、杉本未来さん、巷の夢さん、他)
BMの中点をEとし、DMの中点をFとします。
AE=hとすると、
AM2=AE2+EM2=h2+12
AD2=EC2+(AE−CD)2=32+(h−2)2。
AM=ADだから、
h2+12=32+(h−2)2
4h=12
となり、h=3を得る。
よって、AM2=32+12=10。MF=FD=√2より、AF2=AM2−MF2=10−2=8。
従って、AF=2√2。よって、△ABM=3、△ADM=√2×2√2=4、△DCM=2。
△ABM:△ADM:△DCM=3:4:2。