第108問の解答


問題平面図形]

問題図

左図のような四角形ABCDがあって、ABBCAD∠A= 90°、∠B=150°になっています。
このとき、∠Dの大きさは何度でしょう?


解答例1[正方形と正三角形の性質の利用 、150度のところから半分に切り三角形2つ]

たけのこさん、佐藤 広宣さん、りかさん、ゴンともさん、松本 律さん、 なかじ達人さん、大岡 敏幸さん、長野 美光さん、ミト清さん、tomhさん、 kasamaさん、スモークマンさん、ANGELさん、きょろ文さん、石田晃貴さん、 かんけりさん、 ちいさん&かえるクンさん、踊る大捜査線さん、

四角形ABED正方形となるように点Eをとります。

参考図1

すると、BEABBC∠CBE=150−90=60度
よって、△BCE正三角形となります。

従って、CEBCED
よって、△ECD二等辺三角形

∠CED=60+90=150度
よって、∠CDE=(180−150)÷2=15度
従って、∠ADC=90−15=75度と求まります。

答  75度

以上


解答例2[対角線を引いて・・・]

スマイルさん、はくさん、ピーターラビットさん、

対角線ACBDの交点をPとします。

参考図2

BABCより△BCA二等辺三角形で、∠ABC150度より、
∠BAC=(180−150)÷2=15度

ABAD∠BAD90度より、△ABD直角二等辺三角形
よって、∠ABD∠ADB45度

∠PAD=90−15=75度∠APD=45+15=60度

さて、△APDADBCと重なるように移動したものを△BP'Cとします。

すると、∠P'BC∠CBD=75+105=180度より、
PBP'一直線上に並びます。

∠CP'P∠CPP'60度より、△CP'P二等辺三角形
よって、DPCP'CP
従って、△PCD二等辺三角形となります。

よって、∠PDC∠APD÷2=60÷2=30度
従って、∠ADC=45+30=75度と求まります。


解答例3[三角形ACDは二等辺三角形]

まるケンさん、パリンさん、他

CからADに下ろした垂線の足Hとし、
B
からCHに下ろした垂線の足Gとします。

参考図3

∠CBG=150−90=60度より、
BGBC×1/2となります。

ADBCAHBGより、AHHD
よって、△ACD二等辺三角形となります。

よって、∠ADC∠CAD=90−15=75度と求まります。


解答例4[四角形=菱形+正三角形+二等辺三角形]

mhayashiさん、他

Cを通りAB平行な直線と、Aを通りBC平行な直線交点Mとします。

参考図4

四角形ABCM平行四辺形ABBCより、菱形になります。

よって、
 AMMCABAD
 ∠AMC∠ABC150度
 ∠BAM∠MCB=(360−150×2)÷2=30度
となります。

すると、AMAD∠MAD=90−30=60度より、△AMD正三角形となります。

よって、MDAMMCより、△MCD二等辺三角形
 ∠CMD=360−150−60=150度
従って、∠MDC=(180−150)÷2=15度

よって、∠ADC=60+15=75度と求まります。