第１１２問の解答

問題［空間図形]

水の入った水槽と、１５cm×２０cm×３０cmの直方体の重りがあります。

この重りを「１５cm×２０cmの面」を下にして水に沈めると、水深が１２cmになります。
また、重りを「１５cm×３０cmの面」を下にして水に沈めると、水深は１８cmになります。

では、「２０cm×３０cmの面」を下にして水に沈めると、水深は何cmになりますか。

解答例１

重りを「１５cm×２０cmの面」を下にして水に沈めたとき（図１）：
　水がある部分の底面積は、元の水槽の底面積より１５×２０＝３００cm²減少します。

重りを「１５cm×３０cmの面」を下にして水に沈めたとき（図２）：
　水がある部分の底面積は、元の水槽の底面積より１５×３０＝４５０cm²減少します。

従って、これらの差は４５０－３００＝１５０cm²になります。

また、水深の比が１２：１８＝２：３なので、底面積の比は３：２となります。
差が、１５０cm²なので、底面積はそれぞれ４５０cm²と３００cm²。

よって、
　元の水槽の底面積は４５０＋３００＝７５０cm²、
　水の容積＝４５０×１２＝５４００cm³
と分かります。

さて、重りを「２０cm×３０cmの面」を下にして水に沈めたとき（図３）：
　水がある部分の底面積は、元の水槽の底面積より２０×３０＝６００cm²減少し、
　７５０－６００＝１５０cm²になります。

図３では、図２より底面積がさらに減少しているので、水深は図２の１８cmより高くなります。
従って、重りの高さ１５cmよりも高くなるので、重り全体が水の中にすっぽり沈むことになります。

よって、
　水深＝（水の容積＋重りの体積）÷水槽の底面積
　　　　＝（５４００＋１５×２０×３０）÷７５０
　　　　＝１９．２cm
と求まります。

答　 １９．２cm

以上

解答例２

水槽の底面積をS、水の容積をV、求める水深をhとします。

図１より、　V＝（S－２０×１５）×１２　・・・　（１）
図２より、　V＝（S－３０×１５）×１８　・・・　（２）
図３より、　V＝S×ｈ－３０×２０×１５　・・・　（３）
となります。

（１）、（２）より、
　（S－２０×１５）×１２＝（S－３０×１５）×１８　
　S×６＝３０×１５×１８－２０×１５×１２＝４５００
よって、S＝４５００÷６＝７５０cm²となります。

これを（１）に代入すると、
　V＝（７５０－３００）×１２＝５４００cm³
となります。

従って、
　ｈ＝（V＋３０×２０×１５）÷S
　　＝（５４００＋９０００）÷７５０＝１９．２cm
と求まります。


	重りを「１５cm×２０cmの面」を下にして水に沈めたとき（図１）：　水がある部分の底面積は、元の水槽の底面積より１５×２０＝３００cm²減少します。重りを「１５cm×３０cmの面」を下にして水に沈めたとき（図２）：　水がある部分の底面積は、元の水槽の底面積より１５×３０＝４５０cm²減少します。従って、これらの差は４５０－３００＝１５０cm²になります。また、水深の比が１２：１８＝２：３なので、底面積の比は３：２となります。差が、１５０cm²なので、底面積はそれぞれ４５０cm²と３００cm²。よって、　元の水槽の底面積は４５０＋３００＝７５０cm²、　水の容積＝４５０×１２＝５４００cm³ と分かります。さて、重りを「２０cm×３０cmの面」を下にして水に沈めたとき（図３）：　水がある部分の底面積は、元の水槽の底面積より２０×３０＝６００cm²減少し、　７５０－６００＝１５０cm²になります。図３では、図２より底面積がさらに減少しているので、水深は図２の１８cmより高くなります。従って、重りの高さ１５cmよりも高くなるので、重り全体が水の中にすっぽり沈むことになります。よって、　水深＝（水の容積＋重りの体積）÷水槽の底面積　　　　＝（５４００＋１５×２０×３０）÷７５０　　　　＝１９．２cm と求まります。答　１９．２cm 以上


	水槽の底面積をS、水の容積をV、求める水深をhとします。図１より、　V＝（S－２０×１５）×１２　・・・　（１）図２より、　V＝（S－３０×１５）×１８　・・・　（２）図３より、　V＝S×ｈ－３０×２０×１５　・・・　（３）となります。（１）、（２）より、　（S－２０×１５）×１２＝（S－３０×１５）×１８　　S×６＝３０×１５×１８－２０×１５×１２＝４５００よって、S＝４５００÷６＝７５０cm²となります。これを（１）に代入すると、　V＝（７５０－３００）×１２＝５４００cm³ となります。従って、　ｈ＝（V＋３０×２０×１５）÷S 　　＝（５４００＋９０００）÷７５０＝１９．２cm と求まります。