第１３７問の解答

問題［規則性]

[A]を１＋１÷Aと計算することにします。（例えば[ 2 ]＝１＋１÷２＝ １．５です。）
では、[ [ [ [ [ [ [ ２ ] ] ] ] ] ] ] はいくらになりますか？

解答例１[愚直にすべて]

ゴンともさん、他

２に対して［ ］の計算をn回行った結果をXnとします。

参考図１

順次計算していけば、上記のようになるので、
答えは５５/３４と求まります。

答　５５/３４

以上

解答例２[何個かの〔　〕を計算して推測 、数列で考える]

N.Nishiさん、HAJIさん、tymさん、高田一輝（姉小路）さん、かずゆみさん、 kobaさん、みかんさん、kasamaさん、ショウさん、多佳子さん、 mimiさん、高田一輝（姉小路）さん、マサシックスさん、ドイルさん、JUNさん、長野　美光さん、 bunさん、tomhさん、tekiさん、他

参考図２

Xnを眺めてみると、Xnの分母はXn-1の分子、Xnの分子はXn-1の分母と分子を足したものとなっています。

実際、Xn＝Fn/Gnと表すことにすると、
　Fn/Gn＝１＋１/（Fn-1/Gn-1）＝１＋Gn-1/Fn-1＝（Fn-1＋Gn-1）/Fn-1
よって、
　Fn＝Fn-1＋Gn-1　・・・　（１）
　Gn＝Fn-1　・・・　（２）
となります。

（１）、（２）より、
　Fn＝Fn-1＋Fn-2　
が成り立つので、Fnはフィボナッチ数列になっています。

従って、この結果を用いると
　X7＝F7/F6＝５５/３４
と簡単に計算できます。