問題［平面図形]
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左図のABCDは∠Bと∠Cが直角の台形で、AB＝２cm、BF＝１cm、FG＝３cm、GC＝１cm、CD＝ ４cmとなっています。 このとき、四角形EGCDの面積は何cm2になりますか？ |
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解答例１[EからFGに垂線を引き相似を利用]
| bunさん、N.Nishiさん、高田一輝（姉小路）さん、あまれっとさん、皆我ポさん、 kasamaさん、Dr.Sさん、にっしーさん、りかさん、多佳子さん、他 |
点Eから辺BCに下ろした垂線の足をHとします。
△EHGと△ABGは相似より、
EH：HG＝AB：BG＝２：４＝１：２ ・・・ （１）△EFHと△DFCは相似より、
EH：FH＝DC：FC＝４：４＝１：１ ・・・ （２）（１）、（２）より、
EH：FG＝１：３FG＝３cmだから、EH＝１cmとなります。
従って、
四角形DEGC
＝△DFC−△EFG
＝1/2×FC×DC−1/2×FG×EH
＝1/2×４×４−1/2×３×１
＝１３/２
＝６．５cm2
と求めることができます。答 ６．５cm2
以上
解答例２[三角形の相似を使う 、補助線を引き相似を使う]
| ちずさん、こえだ§さん、みかんさん、スモークマンさん、アセアセさん、 いっひーさん、HAJIさん、他 |
ABとDFの延長線の交点をP、DCとAGの延長線の交点をQとします。
△PFBと△DFCは相似より、
BP：BF＝DC：FC＝４：４＝１：１
よって、
BP＝BF＝１cm△QGCと△AGBは相似より、
QC：GC＝AB：GB＝２：４＝１：２
よって、
QC＝GC×１/２＝１/２cmまた、△AEPと△QEDは相似で、
相似比＝AP：DQ＝３：９/２＝２：３
よって、
△QEDで、Eからの高さ＝３cmとなります。従って、
四角形DEGC
＝△QED−△QGC
＝1/2×９/２×３−1/2×１×１/２
＝２６/４
＝６．５cm2
解答例３[等しい三角形を考える（合同）]
| あっけらけさん、マサ5599さん、mieさん、他 |
点Aから辺DCに下ろした垂線の足をHとし、AHとDFの交点をPとします。
HC＝AB＝２cm、DH＝DC−HC＝２cmとなります。
すると、△DPHと△DFCは相似より、
PH：DH＝FC：DH＝２：２＝１：１
よって、
PH＝DH＝２cm
となります。従って、AP＝AH−PH＝BC−PH＝５−２＝３cm
△EFGと△EPAは相似で、かつFG＝APより合同、
よって、△EFGの高さ＝AB×1/2＝1cmと分かります。以下、解答例１と同様。
（その他の解法）
- 座標置き ・・・ ゴンともさん、tomhさん、まるケンさん、他
方程式を解いて直線AGとFDの交点の座標を求める
- タンジェントを使う
・・・ ハラギャーテイさん、他