問題［平面図形]
 |
 |
 |
|
|
|
 |
左図のように、AB＝AC＝１４cmの二等辺三角形を、頂点Cを中心にして回転させ、 このときのACとA'B'の交点をPとしたとき、AP＝６cmになっていました。 |
|
 |
|
 |
|
解答例１[ABとA'Cが平行 、各辺の相似。、二等辺三角形と相似の利用]
| ゴンともさん、高田一輝（姉小路）さん、ちずさん、bunさん、藤井 拓人さん、 みかんさん、スモークマンさん、N.Nishiさん、tamagonnさん、kasamaさん、エミリーさん、HAJIさん、elmotitiさん、みやもーぷんぽさん、tomhさん、 多佳子さん、マリオさん、鉄アニさん、yutakaさん、他 |
∠BAC＝α、∠ABC＝∠ACB＝βとします。
△PAB'と△PA'Cは、∠PAB'＝∠PA'C＝α、∠APB'＝∠PA'C（対頂角）より、相似となります。
さらに、これらが二等辺三角形になることを示しましょう。BC＝B'Cより、△CB'Bは二等辺三角形となります。
従って、
∠CB'B＝∠CBB'＝β ・・・ （１）
となります。従って、∠BB'C＝∠A'CB'より、ABとA'Ｃは錯角が等しいので平行、
よって、∠ＰＢ'Ａ'＝∠ＰＡ'Ｃ＝α、∠ＰＣＡ'＝∠ＰＡＢ'＝α（錯角）より、
△PAB'と△PA'Cは、ともに底角がαの二等辺三角形と分かります。従って、
△APB'と△PCA'は相似で相似比＝AP：PC＝６：８、
AB'＝A'C×６/８＝14×６/８＝２１/２＝１０．５cm
よって、
BB'＝１４−１０．５＝３．５cm
と求まります。答 ３．５cm
以上
（△PAB'と△PA'Cが二等辺三角形を示す別解）
（１）より、
∠B'CB＝１８０°−∠CB'B−∠CBB'＝α
よって、
∠A'CP＝∠A'CB'−∠PCB'＝∠ACB−∠PCB'＝∠B'CB＝α従って、△PA'Cは底角がαの二等辺三角形と分かります。
△PAB'と△PA'Cは相似だから、△PAB'も底角がαの二等辺三角形。
（その他の解法）
- 三角関数 ・・・ ハラギャーテイさん、kjhkさん、他