第１５１問の解答

問題［空間図形、平面図形]

立方体の形をした箱があります。
箱の１組の対角線どうしを結んで長さが最も短くなるようにひもを巻きつけたところ、ひもの長さが１５cmになりました。

この箱の表面積は何cm²ありますか？

解答例１[三平方の定理と比]

Plutonianさん、高田一輝（姉小路）さん、スモークマンさん、宮憲さん、鉄アニさん、 tymさん、大岡　敏幸さん、Dr.Sさん、tomhさん、ゴリさん、他

立方体の１辺の長さをａ、求める表面積をＳとします。

題意から、正方形２個を合わせた長方形の対角線の長さが１５cm、
よって、
　ａ²＋（２ａ）²＝１５²
　ａ²＝１５²×１/５＝４５cm²

従って。
　Ｓ＝６ａ²＝４５×６＝２７０cm²
と求まります。

答　２７０cm²
以上

解答例２[１５ｘ１５ｘ６／５]

ろろさん、bunさん、まーくんさん、多佳子さん、みかんさん、 N.Nishiさん、kasamaさん、長野　美光さん、まるケンさん、阪急大好き！さん、 KILLERさん、他

解答例１の長方形を４個を合わせると、小正方形が９個と１辺の長さが１５cmの正方形が１個できます。

正方形の面積をsとすると、
　５s＝１５×１５、
　s＝１５×３＝４５cm²

よって、
　Ｓ＝６s＝４５×６＝２７０cm²
と求まります。

解答例３[相似を使う]

HAJIさん、１６わんさん、しゅさん、他

長方形の各頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとし、Ｂから対角線ＡＣに下ろした垂線の足をＨとします。

∠ＡＢＨ＝∠ＡＣＢより、△ＡＢＨ、△ＣＢＨ、△ＡＣＢは互いに相似な直角三角形となります。

よって、ＡＨの長さを１とすると、ＢＨ＝２、ＣＨ＝４、ＡＣ＝ＡＨ＋ＣＨ＝５、
従って、ＢＨ＝ＣＨ×２/５＝３cmとなります。

よって、
　小正方形の面積＝長方形の面積＝１/２×１５×６＝４５cm²

従って、
　立方体の表面積＝小正方形の面積×６＝４５×６＝２７０cm²
と求まります。

（その他の解法）

方程式を用いて解く　・・・　ゴンともさん、他


	解答例１の長方形を４個を合わせると、小正方形が９個と１辺の長さが１５cmの正方形が１個できます。正方形の面積をsとすると、　５s＝１５×１５、　s＝１５×３＝４５cm² よって、　Ｓ＝６s＝４５×６＝２７０cm² と求まります。


	長方形の各頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとし、Ｂから対角線ＡＣに下ろした垂線の足をＨとします。 ∠ＡＢＨ＝∠ＡＣＢより、△ＡＢＨ、△ＣＢＨ、△ＡＣＢは互いに相似な直角三角形となります。よって、ＡＨの長さを１とすると、ＢＨ＝２、ＣＨ＝４、ＡＣ＝ＡＨ＋ＣＨ＝５、従って、ＢＨ＝ＣＨ×２/５＝３cmとなります。よって、　小正方形の面積＝長方形の面積＝１/２×１５×６＝４５cm² 従って、　立方体の表面積＝小正方形の面積×６＝４５×６＝２７０cm² と求まります。