第4問の解答


問題(和差算?)

 ある商店では、1個が456円の品物A654円の品物Bの2種類の商品を販売しています。
ゆたか君は、品物ABを合わせて11個買う為にちょうどのお金を持ってきたのですが、レジのお姉さんが、Aの値段を654円Bの値段を456円と勘違いして代金を計算した為に、持っていたお金よりも990円高い代金を請求されてびっくりしてしまいました。
ゆたか君が持ってきたお金はいくらだったのでしょう?

 


解答例1和が11、差が5] 
井ア大智さん、パリンさん、BossFさん、E.T.さん、きょえぴさん、kunioさん、なにわさん、なかさん、ヒデー王子さん、tekiさん、せなんなさん、あまれっとさん、ちーくんにゃあさん、とみっちさん、中学への算数学コンさん、山口 勇太郎さん、数楽者さん、ヌオさん、他多数)

参考図1

ABの価格を取り違えると1個あたりの価格差は654-456=198円 。
合計で990円多くなったことから、AB個数の差は990÷198=5個

参考図2

個数の和115になる組み合わせは、A=8B=3しかないので、
正しい合計金額は、
 456×8+654×3=3648+1972=5610円
となります。

なお、AB5個ずつの差が990円として解いた、まさきさん、チュパさんの場合も、ほぼこの解答例1と同様です。

答:5610円

以上


解答例2方程式を解く] 

【連立方程式】 N.Nishiさん、Airさん、巷の夢さん、のざりんさん、どらえもんさん、あくびちゃんMIKI&RIE&PAPAさん、マジックさん、航介さん、Geniusさん、AYUMIさん、他)

商品Ax個商品By個買う予定だったとします。
 正しい値段:456x+654y ・・・(1)
 誤った値段:654x+456y ・・・(2)

(2)−(1)より、
 198x−198y=198(x−y)=990
従って、
 x−y=5 ・・・(3)。

題意より、
 x+y=11 ・・・(4)
よって、あとは和差算でとけます。

参考図3

(3)+(4)より、
 2x=11+5、x=(11+5)/2=8
(4)−(3)より、
 2y=11-5、y=(11−5)/2=3

よって、正しい値段は、456×8+654×35610円となります。

商品Aの購入個数を未定とした一次方程式を
 
澪桜葵美翔さん、大岡敏幸さん、みのちゃんmhayashiさん、他)

x個(11−x)個買う 予定として一次方程式を作ります。
 正しい金額 = 456x + 654(11−x)
 誤った金額 = 654x + 456(11−x)

正しい金額 + 990 = 誤った金額 より、
 456x + 654(11−x)+ 990 = 654x + 456(11−x)
整理して解くと、 x=8が得られます。
正しい金額の式に代入して、 456×8 + 654×(11−8) = 5610円となります。


解答例3正しい値段と間違った値段の和と差] 
 
CRYING DOLPHINさん、うっしーさん、ほわほわさん、他)

参考図4

正しい金額誤った金額合計は、品物A、Bそれぞれ456円のものと654円のものを11個ずつ買うことになるので、(456+654)×11=11210円となります。
一方、題意から金額の差は990円なので、和差算により正しい金額は、
 (11210-990)÷2=5610円となります。

なお、品物A 、Bを11個ずつ購入した場合を考えたまおさん、Noble Scarletさん、nnoさん、東大受験生さんも、解答例3とほぼ同様です。


解答例4あてはめ] 
 (★ぴよぴよ★さん、検非違使さん、トライアングルユウさん、他)

参考図5

A、B個数の和11個となるケースを書き出して、正しい金額誤った金額を計算すると上の表のようになります。(金額差がマイナスとなる場合を除く)

従って、題意を満たすのは、A=8個B=5個の場合で、そのときの正しい金額は5610円となります。


解答例5[Aだけ11個買ったときの前後の差を考えて] ねこやんさん、他)

Aだけ11個買った場合:金額差=(654-456)×11=2178
A10個B1個の場合:金額差=(654×10+456×1)-(654×1+456×10)=1782

Aの個数が一個減ると前後の差は、2178-1980=396円ずつ減ります。
従って、差が900円になるには、(2178-990)÷396=3より、
Aを8個、Bを3個買う場合となり、そのときの正しい金額は5610円となります。