第6問の解答


問題(場合の数)

1と書かれたカード2枚2と書かれたカード2枚3と書かれたカード2枚あります。
この6枚カードのうち3枚を使って3けた数字を作ると、何通り数字を作ることができますか。


解答例1[3×3×3−3] 
まおさん、ふじさきたつみさん、POIさん、小杉原啓さん、高田修成さん、E.T.さん、ペポッチ!さん、トトロ@Nさん、Taroさん、AIRさん、ミミズクはくず耳さん、高橋道広さん、大岡敏幸さん、やまけんさん、中学への算数学コンさん、tekiさん、パリンさん、ヒデー王子さん、なかさん、東大受験生さん、他多数)

参考図1

各数字ともカード3枚あるとしたら、の位、の位、の位とも1〜33通り可能となるので、合計では、3×3×3=27通り考えられます。

しかしながら、実際にはカード2枚ずつしかないので、全ての数字が同じである、111、222、3333通りは題意を満たさない。

従って、求める場合の数は、27−3=24通りとなります。

答:24通り

以上


解答例2[樹形図] 
 (みっちんさん、あまれっとさん、辻。さん、いまポンさん、ちーくんみのちゃんピカソさん、ヌオさん、ちゅらさんチュパさん、ゴラさん、NobleScarletさん、マリリンさん、しょうさん、AYUMIさん、makoさん、MIKI&RIE&PAPAさん、他)

参考図1

例えば、の位をとし、残りの2桁を小さい順に求めると、
112,113,121,122,123,131,132,1338通りとなります。

従って、全部で8×3=24通りとなります。


解答例3[場合分け、全部を列挙、3×6+6、順列を用いた]
 
N.Nishiさん、CRYING DOLPHINさん、きょえぴさん、まるケンさん、東大受験生さん、LIONさん、BossFさん、とみっちさん、巷の夢さん、少年さん、航介さん、数楽者さん、検非違使さん、ねこやんさん、のざりんさん、しょうさん、とらいしくるさん、ktakumiさん、ワタベえさん、nnoさん、DrKさん、他)

参考図3

同じ数字を2個の場合」と「全ての数字が異なる場合」に分けて考えます。

同じ数字を2個の場合

例えば2枚1枚のとき、112、121、2113通り
2枚1枚のときも同様に、113、131、3113通り
合わせて、2枚の場合は、3×2=6通り

2枚同じ数となるのは、1、2、33種類考えられるから、
合計、6×3=18通り

全ての数字が異なる場合

3個数字を並べる場合の数(順列)=3×2×16通りとなります。

よって、全部で18+6=24通りとなります。