第7問の解答


問題(立体図形)

問題図

小さな立方体を積み重ねて6×6×6の大きな立方体を作ります。

ここから左図の灰色の列の小立方体を、前から後ろ、左から右、上から下まで、それぞれ抜き取ります。
このとき取り除かれずに残る小立方体は、全部で何個ありますか。

 


解答例1[8×8+2×12] 
小杉原啓さん、ワタベえさん、アユマナさん、E.T.さん、ふじさきたつみさん、ピカソさん、みっちんさん、信三さん、まるケンさん、みのちゃんやまけんさん、長野美光さん、パリンさん、ゴラさん、なかさん、巷の夢さん、フォルティッシモさん、数楽者さん、大岡敏幸さん、八尾隆史さん、NobleScarletさん、mhayashiさん、ちーくんBossFさん、香蓮さん、他)

残る小立方体2種類に分類できます。

参考図1

角の2×2×2立方体8つで8×8=64個
辺の1×2直方体12個で2×12=24個
あわせて64+24=88個となります。

答:88個

以上


解答例2[上三段数えて2倍] 
 (ミミズクはくず耳さん、マーチン・ミグスさん、チュパさん、GLKAさん、さんさんさん、マッスルさん、ペポッチ!さん、nnoさん、Taroさん、CRYING DOLPHINさん、まおさん、辻。さん、いまポンさん、トトロ@Nさん、なにわさん、POIさん、航介さん、tomhさん、きょえぴさん、あくびちゃんまさきさん、うっしーさん、AIRさん、ヒデー王子さん、ヌオさん、他)

1面ずつスライスして考えます。
対称形だから、1段目から3段目までを考えれば十分です。

参考図2

1段目は、見えている通り、抜き取った小立方体が8個、残りは6×6−8=24個

2段目は、抜き取る小立方体がさらに2×4=8個増えるので、残りは24−8=16個

3段目は、四隅の4個のみ残ります。

従って、合計では(24+16+4)×2=44×2=88個となります。


解答例3[立方体を8分割して]
 
とみっちさん、tekiさん、N.Nishiさん、高橋道広さん、まれっとさん、MIKI&RIE&PAPAさん、康仁さん、他)

対称形だから立方体8分の1を考えれば十分です。

参考図3

2×2×2=8個と1×3=3個で、8+3=11個が残ります。
従って、全体では11×8=88個となります。


解答例4[抜ける立方体は座標でチェック]
 
有無相生さん、なかさん、makoさん、すっぴーさん、yatagawaさん、ハラギャーテイさん、他)

真ん中の4×4×4の立方体と、外側の6つのに分けて抜き取られる小立方体の数を数えてみます。

参考図4

真ん中では、隅に1個ずつ小立方体が残るので、抜き取られる小立方体は、4×4×4−8=64−8=56個

外側の面では、12個×6面=72個

従って、全体では56+72=128個抜き取られるので、残るのは6×6×6−128=216−128=88個となります。


解答例5[1回づつ切り抜かれた個数を計算した]
 
DrKさん、とらいしくるさん、他)

3方向に1回づつ抜き取られる個数を計算していきます。

参考図5

1回目は、1面当たり十字形の12個6面抜き取るので、12×6=72個

2回目は、1面当たり12個2面の12×2=24個と、真ん中部分の2個×4=8個、計24+8=32個

3回目は、1面当たり12個2面の12×2=24個

従って、全体では72+32+24=128個
よって残りは6×6×6−126=216−128=88個となります。