問題（整数の性質）
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15円切手と16円切手だけを使ってちょうど245円にしたいとき、15円切手は何枚使えば良いですか？ |
解答例１［16円切手は5枚単位より］
（伝説のマジシャンさん、HAJIさん、有無相生さん、しょうさん、ペポッチ！さん、
ファイアーさん、ヒデー王子さん、とみっちさん、航介さん、tomhさん、みっちん。さん、Takaさん、やまけんさん、
ことぶきさん、星野学園受験生さん、masashiさん、
大岡敏幸さん、MONTANAさん、ぴろりんさん、ma_saさん、他多数）
１５円切手が●枚、１６円切手が■枚とすると、
１５×●＋１６×■＝２４５ ・・・ （１）
が成り立ちます。（１）より、１６×■＝２４５−１５×●となり、１６円切手の枚数は５の倍数となります。
上表より、１６円切手が５枚と１５円切手が１１枚で、ちょうど２４５円になります。
答：１１枚
以上
解答例２［245より小さい15の倍数から1つずつ増やす］
（ミミズクはくず耳さん、まるケンさん、あまれっとさん、マッスルさん、ピカソさん、POIさん、DrKさん、
パリンさん、アユマナさん、他）
２４５÷１５＝１６ 余り ５、すなわち１５×１６＋５＝２４５より、
１５円切手が１６枚で２４０円なので、２４５円にするには、あと５円分増やす必要があります。１５円切手１枚を１６円切手１枚と交換すると１円増えるので、５円増やすには５枚交換すればよいことになります。
従って、１５円切手が１１枚と１６円切手が５枚で２４５円となります。
解答例３［245より大きい16の倍数から１ずつ減らす］
（ヌオさん、ふじさきたつみさん、中村亮さん、tekiさん、BossFさん、他）
１６×１５＋５＝２４５より、１６×１６−１１＝２４５。
１６円切手が１６枚で２５６円なので、２４５円にするには、１１円分減らす必要があります。１６円切手１枚を１５円切手１枚と交換すると１円減るので、１１円分減らすには１１枚交換すればよいことになります。
従って、１６円切手が５枚と１５円切手が１１枚で２４５円となります。
解答例４［245=15×●＋16×■の式に変形、245を15で割った余りから、合計枚数を決定し鶴亀算］
（まおさん、naonoriさん、MIKI&RIE&PAPAさん、数楽者さん、nnoさん、とらいしくるさん、c_c_lemon85さん、Taroさん、emikoさん他）
解答例１の（１）式より、
１５×●＋１５×■＋■＝２４５
１５×（●＋■）＋■＝２４５ ・・・（２）。解答例２と同様に、
２４５÷１５＝１６ 余り ５、すなわち１５×１６＋５＝２４５。従って、●＋■＝１６、■＝５となるようにすればOK。
よって、●＝１６−■＝１６−５＝１１。すなわち、１５円切手が１１枚と１６円切手が５枚で２４５円となります。
解答例５［15x+16y=245の整数解を順に探索、方程式の自然数解］
（ハラギャーテイさん、小野明日香さん、きょえぴさん、mhayashiさん、他）
解答例３の（２）式より、
１５×（●＋■）＋■＝２４５＝１５×１６＋５
１５×（●＋■−１６）＝５−■ ・・・（３）従って、５−■は１５の倍数となり、５−■＝１５×▲と表せます。
よって、■＝５−１５×▲。 ・・・（４）（３）より、●＋■−１６＝▲、
よって、●＝▲−（■−１６）
＝▲−（５−１５×▲−１６）＝１１＋１６×▲。 ・・・（５）（４）、（５）より、●、■が正の整数となるには、▲は０でなければならない。
従って、題意を満たすのは、●＝１１、■＝５のときとなります。
（その他の解法）
全部書き出す。・・・青山学院中等部を目指す人さん、 ツバサさん、かなっちさん
１個だったら、２個だったら、３個だったら・・・って調べて