第15問の解答


問題(場合の数)

100以下の整数で、2の倍数でも5の倍数でもないものを全て足しあわせると、その合計いくらになりますか。


解答例1[個々に計算、全部の和から2の倍数と5の倍数を引き重複部分を足す] 
マッスルさん、大岡敏幸さん、みっちん。さん、算数題魔人さん、AIRさん、有無相生さん、ミミズクはくず耳さん、ペポッチ!さん、まれっとさん、ふじさきたつみさん、長野美光さん、みのちゃんさん、シマチャンさん、yukiさん、tomhさん、ともやさん、チュパさん、 masashiさん、他多数)

ベン図で考えます。

参考図1 参考図2

 2の倍数でも5の倍数でもない整数
=(1から100までの整数)−(2の倍数)−(5の倍数)+(10の倍数
となります。

とくに個数は、
 ・1から100までの整数 ・・・ 100個
 ・2の倍数        ・・・  50個(=100÷2)
 ・5の倍数        ・・・  20個(=100÷5)
 ・10の倍数       ・・・  10個(=100÷10)
より、
 ・2の倍数でも5の倍数でもない整数 ・・・ 40個(=100-50-20+10)
となります。

さて、1から100まで整数の和は、上図より、
 (100)÷2×505050
すなわち、等差数列(等間隔に並ぶ数)の和は、
 最初の数
最後の数平均×個数
で計算できます。

同様にして、
 ・2の倍数  ・・・ 2550個(=(2+100)÷2×50)
 ・5の倍数和  ・・・ 1050個(=(5+100)÷2×20)
 ・10の倍数和 ・・・  550個(=(10+100)÷2×10)
より、
 2の倍数でも5の倍数でもない整数の
=5050−2550−1050+550
2000個
 
となります。
 

答:2000個

以上


解答例2[ガウスの足し算、個数を出して、÷2×100] 
 (ツバサさん、砂子貴則さん、MIKI&RIE&PAPAさん、ファイアーさん、TORAさん、山口勇太郎さん、C-Dさん、POIさん、TAKOさん、ヒデー王子さん、まるケンさん、航介さん、コンヒキさん、坂梨渓太さん、 takamatsuさん、数楽者さん、他)

整数Nに対して、10で割った商余りとすると、
 ×10+
と書けます。

従って、
 N
2の倍数でも5の倍数でもない≡2の倍数でも5の倍数でもない
こととなりますので、から10までの整数を調べれば十分です。

まず、2の倍数を除くと、
 1、3、5、7、9
これから5の倍数を除くと、

 1、3、7、9
となります。

よって、求める数は、
 1、3、7、9、 11、13、17、19、・・・、 91、93、97、99
40個となります。

参考図3

これらは、等差数列ではありませんが、等差数列と同様に、
 (99)÷2×402000
と計算できます。


解答例3[1の位が1、3、7、9] 
 (ピカソさん、kobaさん、すっぴーさん、小杉原啓さん、ヌオさん、パリンさん、長野さん、いくぞーさん、あやっちさん、やまけんさん、金子弘平さん、アユマナさん、emikoさん、 他)

参考図4

解答例2で分かるように、1の位の数字が1、3、7、9になっている数の合計を求めれば良いことが分かります。

10位の和=(10+20+…+90)×40
  =(10+90)÷2×9×40
  =50×9×40
  =1800
1位の和=(1+3+7+9)×10=200

よって、合計は、1800+200=2000個となります。

 


解答例4[奇数の和−1位が5の和、100×50÷2-5(20×10÷2)] 
 (きょえぴさん、dr.mさん、N.Nishiさん、ターキングさん、tekiさん、 とらいしくるさん、ごんざえもんさん、他)

解答例2とほぼ同様にして、
  2の倍数でも5の倍数でもない整数
 =奇数5の倍数となる奇数
として計算します。

 奇数の和=1+3+5+・・・+99=(1+99)÷2×50=2500
 5の倍数となる奇数=5+15+25+・・・+95
  =(5+95)÷2×10=500

従って、
 2の倍数
でも5の倍数でもない整数=2500−500=2000
となります。
 


(その他の解法)