問題（場合の数）
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100以下の整数で、2の倍数でも5の倍数でもないものを全て足しあわせると、その合計はいくらになりますか。 |
解答例１［個々に計算、全部の和から２の倍数と５の倍数を引き重複部分を足す］
（マッスルさん、大岡敏幸さん、みっちん。さん、算数題魔人さん、AIRさん、有無相生さん、ミミズクはくず耳さん、ペポッチ！さん、まれっとさん、ふじさきたつみさん、長野美光さん、みのちゃんさん、シマチャンさん、yukiさん、tomhさん、ともやさん、チュパさん、 masashiさん、他多数）
ベン図で考えます。
２の倍数でも５の倍数でもない整数
＝（１から100までの整数）−（２の倍数）−（５の倍数）＋（10の倍数）
となります。とくに個数は、
・１から100までの整数 ・・・ １００個
・２の倍数 ・・・ ５０個（=100÷2）
・５の倍数 ・・・ ２０個（=100÷5）
・１０の倍数 ・・・ １０個（=100÷10）
より、
・２の倍数でも５の倍数でもない整数 ・・・ ４０個（=100-50-20+10）
となります。さて、１から１００までの整数の和は、上図より、
（１＋１００）÷２×５０＝５０５０
すなわち、等差数列（等間隔に並ぶ数）の和は、
最初の数と最後の数の平均×個数
で計算できます。同様にして、
・２の倍数の和 ・・・ ２５５０個（=(2+100)÷2×50）
・５の倍数の和 ・・・ １０５０個（=(5+100)÷2×20）
・１０の倍数の和 ・・・ ５５０個（=(10+100)÷2×10）
より、
２の倍数でも５の倍数でもない整数の和
＝５０５０−２５５０−１０５０＋５５０
＝２０００個
となります。
答：２０００個
以上
解答例２［ガウスの足し算、個数を出して、÷２×１００］
（ツバサさん、砂子貴則さん、MIKI&RIE&PAPAさん、ファイアーさん、ＴＯＲＡさん、山口勇太郎さん、C-Dさん、POIさん、TAKOさん、ヒデー王子さん、まるケンさん、航介さん、コンヒキさん、坂梨渓太さん、 takamatsuさん、数楽者さん、他）
整数Ｎに対して、Ｎを１０で割った商をＰ、余りをＲとすると、
Ｎ＝Ｐ×１０＋Ｒ
と書けます。従って、
Ｎが２の倍数でも５の倍数でもない≡Ｒが２の倍数でも５の倍数でもない
こととなりますので、１から１０までの整数を調べれば十分です。まず、２の倍数を除くと、
１、３、５、７、９
これから５の倍数を除くと、
Ｒは
１、３、７、９
となります。よって、求める数は、
１、３、７、９、 １１、１３、１７、１９、・・・、 ９１、９３、９７、９９
の４０個となります。
これらは、等差数列ではありませんが、等差数列と同様に、
（１＋９９）÷２×４０＝２０００
と計算できます。
解答例３［１の位が１、３、７、９］
（ピカソさん、kobaさん、すっぴーさん、小杉原啓さん、ヌオさん、パリンさん、長野さん、いくぞーさん、あやっちさん、やまけんさん、金子弘平さん、アユマナさん、emikoさん、 他）
解答例２で分かるように、１の位の数字が１、３、７、９になっている数の合計を求めれば良いことが分かります。
１０位の和＝（１０＋２０＋…＋９０）×４０
＝（１０＋９０）÷２×９×４０
＝５０×９×４０
＝１８００
１位の和＝（１＋３＋７＋９）×１０＝２００よって、合計は、１８００＋２００＝２０００個となります。
解答例４［奇数の和−１位が５の和、100×50÷2-5(20×10÷2)］
（きょえぴさん、dr.mさん、N.Nishiさん、ターキングさん、tekiさん、 とらいしくるさん、ごんざえもんさん、他）
解答例２とほぼ同様にして、
２の倍数でも５の倍数でもない整数
＝奇数−５の倍数となる奇数
として計算します。奇数の和＝１＋３＋５＋・・・＋９９＝(１＋９９)÷２×５０＝２５００
５の倍数となる奇数＝５＋１５＋２５＋・・・＋９５
＝（５＋９５）÷２×１０＝５００従って、
２の倍数でも５の倍数でもない整数＝２５００−５００＝２０００
となります。
（その他の解法）
コンピュータのプログラムを作成・・・まおさん、ハラギャーテイさん、mhayashiさん、
ExcelでＭＯＤ関数を使い計算 など