第18問の解答


問題(整数の性質)

ゆたか君2けたの整数のかけ算で「2002割り切れる数字」をつくろうとしています。そこで小さいものから10×11×12×・・・・・と、整数を順にかけていくことにしました。

できた数字が初めて「2002割り切れる数字」になるのは何をかけ終わったときですか?


解答例1[素因数分解] 
 
N.Nishiさん、きょえぴさん、C-Dさん、ハラギャーテイさん、AYUMIさん、有無相生さん、ミミズクはくず耳さん、ふじさきたつみさん、あまれっと さん、洋輝さん、 他多数)

2002素因数分解すると、
 2002=2××11×13=11×13×14
となります。

よって、14までかけたとき、
 (10×11×12×13×14)÷2002
=(10×11×12×13×14)÷(11×13×14)
=10×12
と割り切れます。

13までだと、7の倍数が含まれないので、2002で割り切ることはできません。

従って、答えは「14をかけたとき」となります。

答:14

以上


解答例2[2002=11×13×14]
敏幸さん、kobaさん、yukiさん、ピカソさん、AIRさん、カーバンクルさん、まおさん、しおざわさん、まるきくさん、ねこやんさん、ファイアー さん、TORAさん、 他多数

解答例1とほぼ同じです。
2002=11×13×14だから、10×12をかけても2002の倍数。
すなわち、
 2002×10×12=10×11×12×13×14
 (10×11×12×13×14)÷2002=10×12

よって、14までかけたときに割り切れます。
以下同様。


(その他の解法)

電卓、EXCEL等を使用して10から順番にかけていくと、14までかけたところで割り切れる。
 

2002の□倍になるようにする。
2002=2×7×11×13なので、分母をこれにする。
そして、約分していきながら、分子を10×11……とする。
10で2が消え、11で11が消え、13で13が消え、14で7が消える。