問題（平面図形）
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解答例１［複数の図形に分割し、内角の和の過不足を考える方法］
（１）4角形(３６０度)ｘ２
（GOMAさん、あまれっとさん、あくびちゃんさん、ぽちさん、Ｎ，Fさん、とらいしくるさん、emikoさん、AYUMIさん、ハラギャーテイさん、ハラギャーテイさん、 他）
上図のように２つの四角形（四角形ABCD、EFGH）に分けると、内角の和の合計は３６０×２＝７２０度。
これと求める図形の内角の和を比べると、ア、イの部分を余計に勘定し、ウ、エの部分が計算に入っていない。
四角形ABCD：
∠DAB＝∠HAB−∠HAD（ウ）、∠CＤA＝∠ＣＤＥ＋∠ＡDE（イ）四角形ＥＦＧＨ：
∠HEF＝∠DEF＋∠HED（ア）、∠GHE＝∠GHA−∠ＡＨＥ（エ）従って、
（四角形ABCD＋四角形ＥＦＧＨ）−求める図形の内角の和
＝（ア＋イ）−（ウ＋エ）ところが、
ア＋イ＋∠ＥＰＤ＝ウ＋エ＋∠ＡＰＨ、∠ＥＰＤ＝∠ＡＰＨより、
ア＋イ＝ウ＋エ
となる。よって、
求める図形の内角の和
＝四角形ABCDの内角の和＋四角形ＥＦＧＨの内角の和
＝７２０度
となる。
答：７２０度
（２）5角形と3角形に分けた
（ねこやんさん、masashiさん、POIさん、渡辺美幸さん、みっちん。さん、N.Nishiさん、ヒデー王子さん、うっしーさん、マッスルさん、DrKさん、 他）
（五角形ABCＧＨ＋三角形ＥＦＤ）−求める図形の内角の和
＝（ア＋イ）−（ウ＋エ）ア＋イ＝ウ＋エより、
求める図形の内角の和
＝五角形ABCＧＨの内角の和＋三角形ＥＦＤの内角の和
＝５４０度＋１８０度
＝７２０度
（３）三角形を4つにする
（mhayashiさん、天災さん、渡辺美幸さん、麻布さん、ともやさん、ファイアーさん、tub@saさん、まるきくさん、算数題魔人さん、 他）
△ＡＢＣ＋△ＡＣＤ＋△ＥＦＧ＋△ＥＧＨ
＝１８０度×４＝７２０度△ＡＢＣ＋△ＡＣＤ＝四角形ＡＢＤＡの内角の和、
△ＥＦＧ＋△ＥＧＨ＝四角形ＥＦＧＨの内角の和となり、
あとは（１）と同じ。
（４）五角形+四角形-180
（A,NOUCHIさん、大岡 敏幸さん、ターキングさん、BEANさん、tekiさん、きょえぴさん、高田修成さん、他）
（四角形ＡＢＣＤ＋五角形ＡＥＦＧＨ）−求める図形の内角の和
＝（∠ＤＡＢ＋∠ＡＤＥ）＋（∠ＡＥＤ＋∠ＢＡＥ）
＝（∠ＤＡＢ＋∠ＡＤＥ）＋∠ＡＰＥ
＝１８０度（△ＡＰＤの内角の和）よって、求める図形の内角の和
＝（四角形ＡＢＣＤの内角の和＋五角形ＡＥＦＧＨの内角の和）−１８０度
＝３６０度＋５４０度−１８０度
＝７２０度
（５）360(四角形の内角和)＋180(一直線)×2
（平野智さん、ごんざえもんさん、C-Dさん、 他）ＢＣおよびＨＧの延長線が交わる点をＰとします。
四角形ＡＢＰＨの内角の和
＝∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｐ＋∠Ｈ
＝∠Ａ＋∠Ｂ＋（∠Ｃ−∠Ｒ）＋∠Ｈ四角形ＥＦＱＤの内角の和
＝∠Ｅ＋∠Ｆ＋∠Ｑ＋∠Ｄ
＝∠Ｅ＋∠Ｆ＋（∠Ｇ＋∠Ｒ）＋∠Dよって、
四角形ＡＢＰＨの内角の和＋四角形ＥＦＱＤの内角の和
＝（∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｈ）＋（∠Ｅ＋∠Ｆ＋∠Ｇ＋∠D）
＝求める内角の和
＝３６０度×２＋３６０度×２
＝７２０度
（６）最終的には６角形にして （なるさん、辻。さん、他）
ＦＧとＣＧの交点をＰ、
Ｃを通ってＦＧに平行な直線と、Ｇを通ってＤＣに平行な直線の交点をＱとします。
∠Ｅ＋∠Ｆ＋∠Ｄ
＝３６０度−∠ＦＰＤ
＝３６０度−∠ＣＰＧ
＝∠ＰＣＱ＋∠Ｑ＋∠ＱＧＦよって、
求める内角の和
＝（∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｇ＋∠Ｈ）＋（∠Ｅ＋∠Ｆ＋∠Ｄ）
＝∠Ａ＋∠Ｂ＋（∠Ｃ＋∠ＰＣＱ）＋∠Ｑ＋（∠Ｇ＋∠ＱＧＦ）＋∠Ｈ
＝六角形ＡＢＣＱＧＨの内角の和
＝１８０度×４
＝７２０度
解答例２［180×8−360×2、内角の和の拡張公式］
（数楽者さん、有無相生さん、カーバンクルさん、みのちゃんさん、トトロ＠Ｎさん、なかさん、ＴＯＲＡさん、 航介さん、算数野郎さん、tomhさん、ふじさきたつみさん、他）
8箇所ある頂点上の（内角＋外角）の和
＝180×8＝1440度うち外角の和
＝∠Ａ'ＡＨ＋∠B'BA＋∠C'CB＋∠D'DC＋∠E'ED＋∠F'FE＋∠G'GF＋∠H'ＨG
＝360×2＝720度よって、内角の和＝1440−720＝720度
解答例３［(180×6＋360×1)−360×2、中の７角形に注目］
（タイガさん、小杉原啓さん、QPerさん、すっぴーさん、まおさん、すすき野マンさん、
他）
∠ＤＥＦ＝１８０度−（１８０度−ａ）−（１８０度−ｂ）＝ａ＋ｂ−１８０度 ・・・ （１）
同様に、
∠ＡＢＣ＝ｂ＋ｃ−１８０度 ・・・ （２）
∠ＥＦＧ＝ｃ＋ｄ−１８０度 ・・・ （３）
∠ＢＣＤ＝ｄ＋ｅ−１８０度 ・・・ （４）
∠ＦＧＨ＝ｅ＋ｆ−１８０度 ・・・ （５）
∠ＣＤＥ＝ｆ＋ｇ−１８０度 ・・・ （６）また、 ∠ＨＡＢ＋∠ＧＨＡ
＝３６０度−（１８０度−ａ）−（１８０度−ｇ）
＝ａ＋ｇ ・・・ （７）（１）＋（２）＋・・・＋（７）より、
求める内角の和
＝（ａ＋ｂ＋・・・＋ｇ）×２−１８０度×６
＝１８０度×５×２−１８０度×６
＝１８０度×４
＝７２０度
解答例４［（三角形８つ）−２周、普通の８角形−３６０度］ （高橋道広さん、まるケンさん、他）
この図形の真ん中に点Ｐをとり、各頂点とＰを結んでできる８つの三角形を考えます。
∠ＰＡＢ＋∠ＰＢＡ＝１８０度−∠ＡＰＢ
∠ＰＢＣ＋∠ＰＣＢ＝１８０度−∠ＢＰＣ
・・・
∠ＰＨＡ＋∠ＰＡＨ＝１８０度−∠ＨＰＡこれらを加えて、
左辺の和＝求める内角の和
右辺の和＝１８０度×８−３６０度×２＝７２０度よって、求める内角の和＝７２０度
解答例５［正八角形埋め込み］ （Taroさん、他）
図形の内側の点Ｐをとり、Ｐを中心とする円で円周が図形の外側になるものを考えます。
図１ |
図２ |
ＰAの延長線と円の交点をＡ'、ＰＢの延長線と円の交点をＢ'、・・・、ＰＨの延長線と円の交点をＨ'とします。（図１）
∠ＰＡＢ＋∠ＰＢＡ＝∠ＰＡ'Ｂ'＋∠ＰＢ'Ａ'＝１８０度−∠ＡＰＢ
同様に、
∠ＰＢＣ＋∠ＰＣＢ＝∠ＰＢ'Ｃ'＋∠ＰＣ'Ｂ'
・・・
∠ＰＨＡ＋∠ＰＡＨ＝∠ＰＨ'Ａ'＋∠ＰＡ'Ｈ'よって、これらを加えると、
∠Ａ＋∠Ｂ＋・・・＋∠Ｈ＝∠Ａ'＋∠Ｂ'＋・・・＋∠Ｈ'
従って、各頂点が円周上に並んでいる場合でも内角の和は同じになります。次に、Ａ'を固定し、Ｂ'が円周上を移動したときを考えます。（図２）
（∠ＰＡ'Ｂ'＋∠ＰＢ'Ａ'）＋（∠ＰＢ'Ｃ'＋∠ＰＣ'Ｂ'）
＝（１８０度−∠Ａ'Ｐ'Ｂ'）＋（１８０度−∠B'Ｐ'C'）
＝３６０度−∠Ａ'Ｐ'C' ・・・ （１）（∠ＰＡ'Ｂ''＋∠ＰＢ''Ａ'）＋（∠ＰＢ''Ｃ'＋∠ＰＣ'Ｂ''）
＝（１８０度−∠Ａ'Ｐ'Ｂ''）＋（１８０度−∠B''Ｐ'C'）
＝３６０度−∠Ａ'Ｐ'C' ・・・ （２）（１）、（２）より、
（∠ＰＡ'Ｂ'＋∠ＰＢ'Ａ'）＋（∠ＰＢ'Ｃ'＋∠ＰＣ'Ｂ'）＝（∠ＰＡ'Ｂ''＋∠ＰＢ''Ａ'）＋（∠ＰＢ''Ｃ'＋∠ＰＣ'Ｂ''）よって、各頂点を移動させても内角の和は変わらないことが分かります。
とくに各頂点が等間隔に並んだ場合を考えると（上図）、各頂点の内角は全て９０度になります。
従って、内角の和＝９０度×８＝７２０度となります。（参考）頂点の数がｎ個で、頂点を結ぶとｍ周する場合
解答例２、４、５などから、一般的に
内角の和＝１８０度×ｎ−３６０度×ｍ
と表せます。とくに、ｎ角形については、ｍ＝１の場合ですから、
内角の和＝１８０度×ｎ−３６０度＝１８０度×（ｎ−２）
となります。
