第20問の解答


問題(速さの問題)

A君B君がマラソンの競走を始めました。ところが走りに自信のあるA君は、油断をしていてB君がスタートしたのに気付かず、ずいぶん出遅れてしまいました。

毎分180mの速さで追いかけると10分B君に追い付き、
毎分240mの速さで追いかけると6分で追いつきます。
では、A君毎分270mの速さで追いかけたとしたら、何分B君に追い付きますか?


解答例1[典型的ニュートン算、Bの速度を求めた、相手の進む距離]

 ペポッチ!さん、バリケンさん、 ヒデー王子さん、haruさん、BEAN さん、増田弘樹さん、コンヒキさん、まこさん、算数野郎さん、ファイアーさん、長野美光さん、小杉原啓さん、じゃまださん、Scaさん、AYUMIさん、あまれっとさん、まるケンさん、まおさん、tub@saさん、C-Dさん、ヌオさん、 カーバンクルさん、平野智さん、 Taroさん、きょえぴさん、  矢山由紀子さん、GOMAさん、 emikoさん、やまけんさん、 タイガさん、 ヴァンスネックさん、DrKさん、  辰野さん、他多数)

線分図で考えます。

参考図1

最初、A君180m/分で走り、10分で追いついたので、
この間180m/分×10分=1800m走ったことになります。

今度は、240m/分で走り、6分で追いつくので、
この間240m/分×6分=1440m走ったことになります。

両者の差=1800−1440=360mは、B君が一人で走ったことになるので、
B君の速さは、360m÷(10−6)分=90m/分となります。

従って、最初A君と一緒に10分間走った距離は、90m/分×10分=900m
よって、B君先行した距離は1800−900=900mと分かります。

最後に、A君270m/分で走ると、B君速さとの差=270−90=180m/分だけ毎分追いついていくことになるので、900m÷180m/分=5分で追いつきます。

答:5分


解答例2[AとBの速さの差の比が5:3]

受験生その1さん、アントニオ猪木さん、コダック さん、渡辺美幸さん、浜崎あゆみ さん、数楽者さん、マッスル さん、平野智さん、高田修成(修徳学院) さん、トトロ@Nさん、まるきくさん、

B君が先行した距離を、A君とB君の速さの差で追いついていくので、その比と追いつく時間は逆比例します。

参考図2

従って、最初と2度目でA君とB君の速さの差は、6分:10分=3:5となります。
2度目は、最初より240−180=60m/分早いのでこれが5−3=に相当します。

3度目は、最初より270−180=90m/分早く走るので、これはに相当することになり、A君とB君の速さの差は、最初に比べ3:6=1:2になります。

よって、追いつく時間はこの逆比2:1となるので、10分×1/2=5分となります。


解答例3[進行グラフ]  (テモさん、とらいしくるさん、みっちん。さん、他)

数のようなダイアグラムで考えます。

参考図3

解法としては、解答例1とほぼ同様です。

B君の速さを(180×10−240×6)m/(10−6)分=90m/分と求め、
先行距離は1800m−90m/分×10分=900mと得ます。
A君270m/分で走るとB君の速さとの差は270−90=180m/分となるので、900m÷180m/分=5分で追いつきます。


解答例4[面積図] 算数題魔人さんピカソさん、他)

下図のような面積図で考えます。
縦にA君とB君の速さの差、横に走った時間とすると、走った距離をが面積になります。

参考図4

黄色の部分の面積は等しくなります。
左側の黄色の部分は、60m/分×6分=360mですから、
右側では360m÷4分=90m/分、これが最初のときのA君とB君の速さの差となります。

従って、B君先行距離は90m/分×10分=900m
3度目は90+90=180m/分で差が縮まるので、900m÷180m/分=5分で追いつきます。


(その他の解法)