問題（整数の性質）
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正方形のタイルを図のように規則正しく並べていきます。 100段目まで並べるには、全部で何個のタイルが必要ですか。  |
解答例１［（1＋2＋3＋......＋100）×2、（2＋200）×100÷2、２＋４＋６＋・・・・・＋２００ 、(1+100)×100、数列］
（Taroさん、小杉原啓さん、辻。さん、ハラギャーテイさん、みのちゃんさん、 まおさん、shiさん、AIRさん、カーバンクルさん、まッキーさん、 ピカソさん、GOMAさん、マッスルさん、ミミズクはくず耳さん、まるきくさん、 ふじさきたつみさん、かなっちさん、ペポッチ！さん、tekiさん、AYUMIさん、 波ピカさん、BEANさん、ヒデー王子さん、航介さん、やまけんさん、 ｋ，ｍさん、きょえぴさん、憲坊さん、うっしーさん、
マリー姫さん、受験生その1さん、テモさん、ムーさん、そうさんさん、 emikoさん、ともやさん、masashiさん、まいのぱぱさん、 マスターハンドさん、ああさん、gottiさん、 とらいしくるさん、Ayamiさん、すてさん、ｙｕｕｋｏさん、ヨッシーさん、 悠基さん、 ねこやんさん、 絵里ちゃんのパパさん、K.Hさん、mhayashiさん、他多数）等差数列の和の公式を利用します。
初項をa、公差をｄ、最終項をb、n項までの和をSとすると、
S＝（a+b）×n×1/2 ・・・ （１）とくに、a=1、d=1、n=100のとき、b=100となり、
（1＋2＋3＋......＋100）＝（1+100）×100×1/2＝5050本問では、この２倍になるのでの10100枚となります。
あるいは、直接公式（１）を適用して、
S＝｛2＋200｝×100×1/2
＝１０１×１００
＝１０１００枚
となります。答：１０１００枚
解答例２［100×202÷2］
（ヌオさん、あまれっとさん、有無相生さん、マリー姫さん、コダックさん、 tomhさん、栗原英治さん、nnoさん、タツさん、なかさん、 なかさん、ヴァンスネックさん、ヒアデスさん、他多数）
同じ数だけタイルを増やして、上図のように100×202の長方形を作ります。
この長方形のタイルの枚数は、答えの2倍だけあるので、
答えは、100×202÷2＝10100枚です。これは、解答例１の公式を次のようにして求めるのと同じです。
公差をdととすると、b＝a+(n-1)d。S= a ＋(a+d)＋ ・・・＋{a+(n-2)d}＋{a+(n-1)d} ・・・ （２）
逆から足して、
S={a+(n-1)d}＋{a+(n-2)d}＋ ・・・＋ (a+d) ＋a ・・・ （３）よって、（２）＋（３）より、
２S＝｛2a+(n-1)d｝×n
S＝[a＋{a+(n-1)d}]×n×1/2
＝(a＋b)×n×1/2
解答例３［(2+200)×50］
（N.Nishiさん、まるケンさん、算数野郎さん、大岡 敏幸さん、算数題魔人さん、 パリンさん、haruさん、あきらさん、団子3兄弟の息子さん、sanoさん、 他多数）
1段目2枚と100段目200枚を足すと202枚
2段目4枚と99段目198枚を足して202枚
3段目6枚と98段目196枚を足して202枚
・・・・
50段目100枚と51段目102枚を足して202枚
従って、、202枚が50組できるので、総数は、202×50＝10100枚
解答例４［100×100＋100、(100×200)/2+100]
（ＴＯＲＡさん、トトロ＠Ｎさん、西原大輔さん、 ピ９ティさん、他多数）
左端の縦1列を別に数えます。
n番目までの合計は、この1列だけでn個。
他の部分は、1＋3＋5＋・・・＋(2n-1)＝n×n個。 ←奇数の和：（１）で、a=1、d=2、b=2n-1
よって、合計はn×n＋nと表わされる。とくに、100番目までなら、100×100＋100＝10100個
