第22問の解答


問題(整数の性質)

正方形のタイルを図のように規則正しく並べていきます。
100段目まで並べるには、全部で何個タイルが必要ですか。

問題図

解答例1[(1+2+3+......+100)×2、(2+200)×100÷2、2+4+6+・・・・・+200 、(1+100)×100、数列

 Taroさん、小杉原啓さん、辻。さん、ハラギャーテイさん、みのちゃんさん、 まおさん、shiさん、AIRさん、カーバンクルさん、まッキーさん、 ピカソさん、GOMAさん、マッスルさん、ミミズクはくず耳さん、まるきくさん、 ふじさきたつみさん、かなっちさん、ペポッチ!さん、tekiさん、AYUMIさん、 波ピカさん、BEANさん、ヒデー王子さん、航介さん、やまけんさん、 k,mさん、きょえぴさん、憲坊さん、うっしーさん、
マリー姫さん、受験生その1さん、テモさん、ムーさん、そうさんさん、 emikoさん、ともやさん、masashiさん、まいのぱぱさん、  マスターハンドさん、ああさん、gottiさん、  
とらいしくるさん、Ayamiさん、すてさん、yuukoさん、ヨッシーさん、 悠基さん、 
ねこやんさん、 絵里ちゃんのパパさん、K.Hさん、mhayashiさん、他多数)

等差数列和の公式を利用します。
初項a公差d、最終項bn項までの和Sとすると、
 S(a+b)×n×1/2 ・・・ (1)

とくに、a=1、d=1、n=100のとき、b=100となり、
 (1+2+3+......+100)=(1+100)×100×1/2=5050

本問では、この2倍になるのでの10100枚となります。

あるいは、直接公式(1)を適用して、
 S={2+200}×100×1/2
  =101×100
  =10100枚
となります。

答:10100枚


解答例2[100×202÷2]

 ヌオさん、あまれっとさん、有無相生さん、マリー姫さん、コダックさん、 tomhさん、栗原英治さん、nnoさん、タツさん、なかさん、 なかさん、ヴァンスネックさん、ヒアデスさん、他多数)

参考図1

同じ数だけタイルを増やして、上図のように100×202の長方形を作ります。
この長方形タイル枚数は、答えの2倍だけあるので、
 答えは、100×202÷2=10100枚です。

これは、解答例1の公式を次のようにして求めるのと同じです。
公差dととすると、ba+(n-1)d。

 S= a        +(a+d)+ ・・・+{a+(n-2)d}+{a+(n-1)d} ・・・ (2)
逆から足して、
 S={a+(n-1)d}+{a+(n-2)d}+ ・・・+   (a+d)    +a   ・・・ (3)

よって、(2)+(3)より、
 2S={2a+(n-1)d}×n
   S=[a+{a+(n-1)d}]×n×1/2
   =(a+b)×n×1/2


解答例3[(2+200)×50]

 N.Nishiさん、まるケンさん、算数野郎さん、大岡 敏幸さん、算数題魔人さん、 パリンさん、haruさん、あきらさん、団子3兄弟の息子さん、sanoさん、 他多数)

参考図2

1段目2枚と100段目200枚を足すと202枚
2段目4枚と99段目198枚を足して202枚
3段目6枚と98段目196枚を足して202枚
 ・・・・
50段目100枚と51段目102枚を足して202枚
従って、、202枚50組できるので、総数は、202×50=10100枚


解答例4[100×100+100、(100×200)/2+100]

 TORAさん、トトロ@Nさん、西原大輔さん、  ピ9ティさん、他多数)

参考図3

左端の縦1列を別に数えます。
n番目までの合計は、この1列だけでn個
他の部分は、1+3+5+・・・+(2n-1)n×n個。 ←奇数の和:(1)で、a=1、d=2、b=2n-1
よって、合計はn×nnと表わされる。

とくに、100番目までなら、100×100+100=10100個