第23問の解答


問題(平面図形)

図のように、∠B=∠D=90度の合同な直角三角形を重ねて書きました。
赤色の部分面積何cm2ありますか。

問題図

 


解答例1[FCEが二等辺三角形からFEを求める]

まるケンさん、mhayashiさん、小杉原啓さん、トトロ@Nさん、 カーバンクルさん、コダックさん、まおさん、有無相生さん、信三さん、 ヌオさん、マッスルさん、とらいしくるさん、GOMAさん、ふじさきたつみさん、算数さん、BEANさん、AIRさん、パリンさん、tomhさん、 AYUMIさん、toshiさん、emikoさん、ヒデー王子さん、POIさん、きょえぴさん、kobaさん、まいのぱぱさん、他多数)

参考図1

△FCEは、底角が等しいから二等辺三角形
FからCEに下ろした垂線の足Gとすれば、
△FCG△FEGは合同で元の△ACBと相似。

これらの三角形は3辺の比が3:4:5
GE=20÷2=10cmだから、FE=(10)×(5/4)=12.5cm
よってDF=16−12.5=3.5cm

求める△DCFの面積は、12×3.5÷2=21cm2

答:21cm2


解答例2[FCEが二等辺三角形だけど・・・、FCEを半分にして高さを求める]

N.Nishiさん、あまれっとさん、BONZさん、算数題魔人さん、ムーさん、 ミミズクはくず耳さん、ピカソさん、
算数題魔人さん、まるきくさん、ヨッシーさん、ふくしんさん、他多数)

前半部分は解答例1と同じ。
FG=10×3/4cm。

 △DCF
=△CED−△FBE
16×12÷2−20×10×3/4÷2
=96−75
21cm2


解答例3[DからCEに垂線]

 Taroさん、tekiさん、ねこやんさん、他 )

参考図2

DからCEに垂線DHを引き、CFとの交点をGとする。また、Fから垂線FH'を引く。
△CDH△GCHはともに△ACBと相似で、3辺の比は3:4:5

よって、
 CHCD×3÷5=12×3÷5=7.2cm
 DHCD×4÷5=12×4÷5=9.6cm
 GHCH×3÷4=7.2×3÷4=5.4cm
 DGDHGH=9.6−5.4=4.2cm

△FCE2等辺三角形だから、
 CH'CE÷2=20÷2=10cm

従って、
 △DCF
△DCG△DGF
DG×CH'÷2
=4.2×10÷2
21cm2


解答例4[はみ出した部分の面積は等しい、相似の関係を使った]

 大地のパパさん、受験生その1さん、mitchさん、DrKさん、他 )

DEABの交点をPとし、FからCEABにおろした垂線の足HおよびQとする。

参考図3

△ACB△DCE合同だから、お互いの三角形のはみ出した部分の面積は等しい。
よって、△DCG△AFP△PEB ・・・ (1)

△PEBは△ACBと相似で、3辺の比が3:4:5より、
 BECECB=20−16=4cm
 BPBE×3÷4=4×3÷4=3cm
よって、△PEB=4×3÷2=6cm2 ・・・ (2)

FQCBCH=16−10=6cm
APABPB=12−3=9cm
よって、△AFP=9×6÷2=27cm2 ・・・ (3)

(1)、(2)、(3)より、△DCG=27−6=21cm2


(その他の解法)