問題(平面図形)
たて12cm、横16cmの長方形の紙を、対角線を折り目にして折り返します。
このとき紙が重ならない部分の面積は、合わせて何cm2になりますか?
解答例1[重なった部分の2倍を引く]
(小杉原 啓さん、まおさん、ねこやんさん、あまれっとさん、コダックさん、 トトロ@Nさん、あきらさん、長野美光さん、まるケンさん、AIRさん、 tekiさん、BONZさん、AYUMIさん、kobaさん、GOMAさん、 高田壮潔さん、BEANさん、ムーさん、nikonikoさん、AROHAさん、 ニコロビンさん、他多数)
元の長方形をABCDとします。
対角線BDで分割した2つの直角三角形BDA、DBCは縦12cm、横16cmより、辺の長さの比が3:4:5の直角三角形となります。
よって、BD=BC×5/4=20cm。長方形ABCDを対角線BDで折り返したときADとBDの交わる点をEとし、
EからBDに下ろした垂線の足をHとします。すると、△EBHと△EDHは合同で、△DBCと相似になります。
よって、BH=HD=BD×1/2=10cm、EH=BH×3/4=7.5cm。
従って、△EBD=BD×EH×1/2=20×7.5×1/2=75cm2。
よって、重ならない部分の面積
=長方形ABCD−△EBD×2
=16×12−75×2
=42cm2。答:42cm2
解答例2[3:4:5から対角線を20cmと判断して]
(TORAさん、きょえぴさん、有無相生さん、ヌオさん、ピカソさん、 パリンさん、ミミズクはくず耳さん、N.Nishiさん、DrKさん、 tomhさん、なにわっこフジさん、ふじさきたつみさん、masashiさん、AROHAさん、 福田英成さん、平野智さん、他多数)
下図は、解答例1と同じ。
EB=ED=BH×5/4=12.5cm。
AE=EC=BC−BE=16−12.5=3.5cm。従って、△ABE=△CDE=3.5×12×1/2=21cm2。
よって、重ならない部分の面積=△ABE+△CDE=42cm2。
解答例3[三平方の定理使いました、方程式、重ならない三角形の直角と交わっている長さ]
(辻。さん、takuさん、まこさん、ヨッシーさん、カーバンクルさん、 大岡 敏幸さん、とらいしくるさん、Taroさん、せっきいさん、ぶる〜は〜ちゅさん、mkuraさん、他 )
△ABEと△CDEは合同な直角三角形です。
AE=CE=xとすると、EB=ED=16-xとなります。三平方の定理より、
x2+122=(16-x)2
x2+144=256-32x+x2
32x=112
よって、x=3.5cm。以下、解答例2と同じ。
解答例4[三角関数を用いる]
∠DBC=α、∠BDC=β、∠ABE=γとします。
tanα=3/4、tanβ=4/3となります。
γ=β−αより、三角関数の加法定理を用いると、
tanγ=(tanβ−tanα)/(1+tanβ・tanα)
=(4/3-3/4)/(1+4/3・3/4)
=7/24。従って、AE=AB・tanγ=12×7/24=3.5cm。
以下、解答例2と同様。
(その他の解法)
- 実際に作って・・・ マッスルさん、算数題魔人さん、あんなさん、AROHAさん、浜崎あゆみさん、naoさん
- 純粋に題意の図形の面積を求める・・・どーたーさん
- 三角形の面積を使った・・・TSKさん