第２８問の解答

問題（規則性）

トラさんが、今年受けた算数のテストの得点は、次のような規則性がありました。
  • １回目は５５点でした。
  • ２回目以降については、１回目からその回までの平均点が２点ずつ増えていきました。
  • 最後の回では、１回目からの平均点が７７点になりました。

では、最後の回の得点は何点でしょう？

解答例１［1回に4点ずつ増えるので・・・］

（マリー姫さん、ヌオさん、コダックさん、小杉原　啓さん、maruhagedonさん、 つる太さん、三木さん、グリフィンドールさん、なにわっこフジさん、ヨッシーさん、 tenma103さん、masashiさん、AYUMIさん、ぽこさん、ヒデー王子さん、 トトロ＠Ｎさん、算数題魔人さん、カルピスさん、他多数）

参考図１

合計点＝平均点×回数、および得点＝合計点−前回までの合計点の関係が成り立ちますので、順次計算していけば上表のように求まります。

平均点は、２点ずつ増えていくので、テスト回数は（７７−５５）÷２＋１＝１２回。
得点は、４点ずつ増えていくので、１２回目の得点は、５５＋４×１１＝９９点となります。

以上

答　９９点

解答例２［12回目までの平均点＋2点×11］

（Taroさん、C-Dさん、tekiさん、ねこやんさん、ハヤさん、 AIRさん、ミミズクはくず耳さん、NobleScarletさん、天才勇作さん、マスターハンドさん、 他 ）

解答例１とほぼ同様ですが、得点と平均点の差が２点ずつ増えていくことに着目します。

１２回目では、７７＋２×１１＝９９点となります。

解答例３［12回の合計得点−11回までの合計得点］

（ＴＯＲＡさん、GOMAさん、パリンさん、マッスルさん、きょえぴさん、 DrKさん、BEANさん、とらいしくるさん、他 ）

１１回目までの合計点＝１１回目までの平均点×１１＝（５５＋２×１０）×１１＝８２５点　・・・　（１）
１２回目までの合計点＝１２回目までの平均点×１２＝（５５＋２×１１）×１２＝９２４点　・・・　（２）

１２回目の得点＝１２回目までの合計点−１１回目までの合計点＝９２４−８２５＝９９点となります。

解答例４［漸化式でした］

（有無相生さん、tomhさん、mhayashiさん、他 ）

n回目の得点をPn、それまでの平均点、合計点をAn、Snとおきます。

Sn＝An×n、およびPn＝Sn−Sn-1が成り立ちます。　・・・・（＊＊）

題意より、An＝２（n−１）＋５５＝２n＋５３＝７７となりますので、n＝１２。
　Sn-1＝An-1×(n-1)＝（２n＋５１）×（n−１）　・・・　（１）
　Sn　＝An×n　　　　＝（２n＋５３）×n　・・・　（２）
（２）−（１）より、
　Pn＝（２n＋５３）×n−（２n＋５１）×（n−１）＝４n＋５１＝９９となります。

（参考）

（＊＊）の関係を下図のような面積図で表します。
ただし、得点を最初のテストの得点５５を基準に考えます。

参考図２

得点の増分が４点であることが分かります。

（その他の解法）