第29問の解答


問題(平面図形)

問題図
左図で、ABCD正方形E、F、G、Hは各辺の中点です。

正方形内部の点Pで正方形を4つ四角形に分けたときの面積が 、
3カ所については、12cm223cm234cm2と分かっています。

では、残りの1カ所面積何cm2ありますか。

 


解答例1[12+34−23=23、三角形の面積]

TORAさん、トトロ@Nさん、mhayashiさん、あまれっとさん、ヒノ茶さん、 AIRさん、ヌオさん、長野美光さん、mkuraさん、まるケンさん、 emikoさん、ミミズクはくず耳さん、LIONさん、有無相生さん、算数題魔人さん、 QPerさん、小杉原 啓さん、kunioさん、tekiさん、糸貫算数さん、 tomhさん、数楽者さん、たかパパさん、NobleScarletさん、 ヒデー王子さん、本ちゃんさん、maruhagedonさん、きょえぴさん、masashiさん、 あきらさん、ちょみやさん、 天才ユウリンさん、他多数)

EFGHを結んでできる正方形EFGH(1辺の長さの半分をとおきます)の面積は、正方形ABCDのちょうど半分になります。
ここで、△PHE△PEF△PFG△PGHの高さをh1h2h3h4とします。

参考図1

 四角形PHAE△PHE△HAE=1/2×2aah1) ・・・ (1)
 四角形PEBF△PEF△EBF=1/2×2aah2) ・・・ (2)
 四角形PFCG△PFG△FCG=1/2×2aah3) ・・・ (3)
 四角形PGDH△PGH△GDH=1/2×2aah4) ・・・ (4)

(1)+(3)より、
 四角形PHAE+四角形PFCGa2ah1+h3

(2)+(4)より、
 四角形PEBF+四角形PGDHa2ah2+h4

h1+h3=h2+h4=2aが成り立つので、
 四角形PHAE+四角形PFCG=四角形PEBF+四角形PGDH=42
=正方形EFGH

よって、
 四角形PHAE+23=34+12
 四角形PHAE=34+24−23=23cm2

以上

答 23cm2


解答例2[面積の等しい部分を記号で]

ねこやんさん、N.Nishiさん、つる太さん、ふじさきたつみさん、わにがわさん、 パリンさん、ブースカさん、グリフィンドールさん、やまけんさん、A.NOUCHIさん、 娘。さん、たくみさん、ごまちゃんさん、他 )

正方形ABCD1辺の長さの半分をとします。
また、からABBCCDDAへ下ろした垂線の足H1H2H3H4とします。

参考図2

PH1h1、PH2h2PH3h3、PH4h4とおくと、
 四角形PHAE△PHA△PAE=1/2×ah1h2) ・・・ (1)
 四角形PEBF△PEB△PBF=1/2×ah2h3) ・・・ (2)
 四角形PFCG△PFC△PCG=1/2×ah3h4) ・・・ (3)
 四角形PGDH△PGD△PDH=1/2×ah4h1) ・・・ (4)

(1)+(3)より、
 四角形PHAE+四角形PFCG=1/2×ah1+h2+h3+h4)=22

(2)+(4)より、
 四角形PEBF+四角形PGDH=1/2×ah1+h2+h3+h4)=22

よって、
 四角形PHAE+四角形PFCG=四角形PEBF+四角形PGDH

従って、
 四角形PHAE+23=34+12
 四角形PHAE=34+24−23=23cm2